Закон больцмана для распределения частиц во внешнем потенциальном поле

Пусть идеальный газ находится в поле консервативных сил в условиях теплового равновесия. При этом концентрация газа будет различной в точках с различной потенциальной энергией, что необходимо для соблюдения условий механического равновесия. Так, число молекул в единичном объеме n убывает с удалением от поверхности Земли, и давление, в силу соотношения P = nkT, падает.

Если известно число молекул в единичном объеме, то известно и давление, и наоборот. Давление и плотность пропорциональны друг другу, поскольку температура в нашем случае постоянна. Давление с уменьшением высоты должно возрастать, потому что нижнему слою приходится выдерживать вес всех расположенных сверху атомов.

Исходя из основного уравнения молекулярно-кинетической теории: P = nkT, заменим P и P0 в барометрической формуле (2.4.1) на n и n0 и получим распределение Больцмана для молярной массы газа:

Так как а , то (2.5.1) можно представить в виде

На рисунке 2.11 показана зависимость концентрации различных газов от высоты. Видно, что число более тяжелых молекул с высотой убывает быстрее, чем легких.

Больцман доказал, что соотношение (2.5.3) справедливо не только в потенциальном поле сил гравитации, но и в любом потенциальном поле, для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.

ens.tpu.ru

Закон больцмана для распределения частиц во внешнем потенциальном поле

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

БОЛЬЦМАН (Boltzmann) Людвиг (1844-1906), австрийский физик, один из основателей статистической физики и физической кинетики, иностранный член-корреспондент Петербургской АН (1899). Вывел функцию распределения, названную его именем, и основное кинетическое уравнение газов. Дал (1872) статистическое обоснование второго начала термодинамики. Вывел один из законов теплового излучения (закон Стефана — Больцмана).

Из-за хаотического движения изменения в положении каждой частицы (молекулы, атома и т.д.) физической системы (макроскопического тела) носят характер случайного процесса. Поэтому можно говорить о вероятности обнаружить частицу в той или иной области пространства.

Из кинематики известно, что положение частицы в пространстве характеризуется ее радиусом-вектором или координатами.

Рассмотрим вероятность dW( ) обнаружить частицу в области пространства определяемой малым интервалом значений радиуса-вектора , если физическая система находится в состоянии термодинамического равновесия.

Векторный интервал будем измерять объемом dV=dxdydz.

Плотность вероятности (функция вероятности распределения значений радиуса-вектора )

.

Частица в данный момент времени реально где-то находится в указанном пространстве, значит должно выполняться условие нормировки:

.

Найдем функцию вероятности распределения частиц f( ) классического идеального газа. Газ занимает весь объем V и находится в состоянии термодинамического равновесия с температурой Т.

При отсутствии внешнего силового поля все положения каждой частицы равновероятны, т.е. газ занимает весь объем с одинаковой плотностью. Поэтому f( ) = c onst.

Используя условие нормировки найдем, что

,

Если число частиц газа N, то концентрация n = N/V .

Следовательно, f(r ) =n/N .

Вывод : в отсутствие внешнего силового поля вероятность dW( ) обнаружить частицу идеального газа в объеме dV не зависит от положения этого объема в пространстве, т.е. .

Поместим идеальный газ во внешнее силовое поле.

В результате пространственного перераспределения частиц газа плотность вероятности f( ) ¹ c onst.

Концентрация частиц газа n и давление его Р будут различными, т.е. в пределе где D N – среднее число частиц в объеме D V и давление в пределе , где D F- абсолютное значение средней силы, действующей нормально на площадку D S.

Если силы внешнего поля являются потенциальными и действуют в одном направлении (например, сила тяжести Земли направлена вдоль оси z), то силы давления, действующие на верхнее dS2 и нижнее dS1 основания объема dV, не будут равны друг другу (рис. 2.2).

В этом случае разность сил давления dF на основания dS1 и dS2 должна быть скомпенсирована действием сил внешнего поля .

Суммарная разность сил давления dF = nGdV,

где G – сила, действующая на одну частицу со стороны внешнего поля.

Разность сил давления (по определению давления) dF = dPdxdy. Следовательно, dP = nGdz.

Из механики известно, что потенциальная энергия частицы во внешнем силовом поле связана с силой этого поля соотношением .

Тогда разность давлений на верхнее и нижнее основания выделенного объема dP = – n dWp.

В состоянии термодинамического равновесия физической системы ее температура Т в пределах объема dV везде одинакова. Поэтому используем уравнение состояния идеального газа для давления dP = kTdn.

Решив совместно последние два равенства получим, что

– ndWp = kTdn или .

После преобразований найдем, что

,

где ℓ n no – постоянная интегрирования (no – концентрации частиц в том месте пространства, где Wp=0).

После потенцирования, получим

.

Вывод: в состоянии термодинамического равновесия концентрация (плотность) частиц идеального газа, находящегося во внешнем силовом поле, изменяется по закону, определяемому формулой (2.11), которую называют распределением Больцмана.

С учетом (2.11) функция вероятности распределения молекул в поле силы тяжести принимает вид

.

Вероятность обнаружить частицу идеального газа в объеме dV, расположенного у точки, определяемой радиусом-вектором , представим в виде

.

Для идеального газа давление отличается от концентрации только постоянным множителем kT (P=nkT).

Следовательно, для таких газов давление

,

Применим распределение Больцмана к атмосферному воздуху, находящему в поле тяготения Земли.

В состав атмосферы Земли входят газы: азот – 78,1 %; кислород – 21 %; аргон-0,9 %. Масса атмосферы -5,15 × 10 18 кг. На высоте 20-25 км – слой озона.

Вблизи земной поверхности потенциальная энергия частиц воздуха на высоте h Wp= mogh , где m o – масса частицы.

Потенциальная энергия на уровне Земли (h=0) равна нулю (Wp=0).

Если в состоянии термодинамического равновесия частицы земной атмосферы имеют температуру Т, то изменение давления атмосферного воздуха с высотой происходит по закону

.

Формула (2.15) называется барометрической формулой; применима для разреженных смесей газов.

Заключение : для земной атмосферы чем тяжелее газ, тем быстрее падает его давление в зависимости от высоты, т.е. по мере увеличения высоты атмосфера должна все более обогащаться легкими газами. Из-за изменения температуры атмосфера не находится в равновесном состоянии. Следовательно, барометрическую формулу можно применять к малым участкам, в пределах которых изменения температуры не происходит. Кроме того, на неравновесность земной атмосферы влияет гравитационное поле Земли, которое не может удержать ее вблизи поверхности планеты. Происходит рассеивание атмосферы и тем быстрее, чем слабее гравитационное поле. Например, земная атмосфера рассеивается достаточно медленно. За время существования Земли (

4-5 млрд. лет) она потеряла малую часть своей атмосферы (в основном легких газов: водорода, гелия и др.).

Гравитационное поле Луны слабее земного, поэтому она практически полностью потеряла свою атмосферу.

Неравновесность земной атмосферы можно доказать следующим образом. Допустим, что атмосфера Земли пришла в состояние термодинамического равновесия и в любой точке ее пространства она имеет постоянную температуру. Применим формулу Больцмана (2.11), в которой роль потенциальной энергии выполняет потенциальная энергия гравитационного поля Земли, т.е.

где g – гравитационная постоянная; Мз – масса Земли; m o – масса частицы воздуха; r – расстояние частицы от центра Земли.

При r ® ¥ Wp=0. Поэтому распределение Больцмана (2.11) принимает вид

,

files.lib.sfu-kras.ru

11.2 Закон распределения молекул идеального газа во внешнем силовом поле

При рассмотрении кинетической теории газов и закона распределения Максвелла предполагалось, что на молекулы газа не действуют никакие силы, за исключением ударов молекул. Поэтому, молекулы равномерно распределяются по всему сосуду. В действительности молекулы любого газа всегда находятся в поле тяготения Земли. Вследствие этого, каждая молекула массой m испытывает действие силы тяжести f =mg.

Выделим горизонтальный элемент объема газа высотой dh и площадью основания S (рис. 11.2). Считаем газ однородным и температуру его постоянной. Число молекул в этом объеме равно произведению его объема dV=Sdh на число молекул в единице объема. Полный вес молекул в выделенном элементе равен

Действие веса dF вызывает давление, равное

минус – т.к. при увеличении dh давление уменьшается. Согласно основному уравнению молекулярно-кинетической теории

Приравнивая правые части (11.2) и (11.3), получаем


или

Интегрируя это выражение в пределах от до h (соответственно концентрация изменяется от до n):


получим

Потенцируя полученное выражение, находим

Показатель степени при exp имеет множитель , который определяет приращение потенциальной энергии молекул газа. Если переместить молекулу с уровня до уровня h, то изменение ее потенциальной энергии будет

Тогда уравнение для концентрации молекул преобразуется к виду

Это уравнение отображает общий закон Больцмана и дает распределение числа частиц в зависимости от их потенциальной энергии. Он применим к любой системе частиц, находящихся в силовом поле, например в электрическом.

physics-lectures.ru

Распределение Больцмана

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Предположим, что газ находится во внешнем потенциальном поле. В таком случае молекула газа массы $m_0\ ,$ движущаяся со скоростью $\overrightarrow\ $имеет энергию $<\varepsilon >_p$, которая выражается формулой:

Вероятность ($dw$) нахождения этой частицы в фазовом объеме $dxdydzdp_xdp_ydp_z$ равно:

Плотности вероятности координат частицы и ее импульсов независимы, следовательно:

Формула (5) дает распределение Максвелла для скоростей молекул. Рассмотрим внимательнее выражение (4), которое приводит к распределению Больцмана. $dw_1\left(x,y,z\right)$ — плотность вероятности нахождения частицы в объеме $dxdydz$ вблизи точки с координатами $\left(x,y,z\right)$. Будем считать, что молекулы газа независимы и в выделенном объеме газа n частиц. Тогда по формуле сложения вероятностей получим:

Коэффициент $A_1$ находится из условия нормировки, которое в имеющемся у нас случае значит, что в выделенном объеме n частиц:

Что такое распределение Больцмана

Распределением Больцмана называют выражение:

Выражение (8) задает пространственное распределение концентрации частиц в зависимости от их потенциальной энергии. Коэффициент $A_1$ не вычисляют, если необходимо знать только распределение концентрации частиц, а не их количество. Допустим, что в точке ($x_0,y_<0,>z_0$) задана концентрация $n_0$=$n_0$ $(x_0,y_<0,>z_0)=\frac<_0dy_0_0>$, потенциальная энергия в той же точке $U_0=U_0\left(x_0,y_<0,>z_0\right).$ Обозначим концентрацию частиц в точке (x,y,z) $n_0\ \left(x,y,z\right).\ $Подставим данные в формулу (8), получим для одной точки:

для второй точки:

Выразим $A_1$ из (9), подставим в (10):

Чаще всего распределение Больцмана используют именно в виде (11). Особенно удобно подобрать нормировку, при которой $U_0\left(x,y,z\right)=0$.

Распределение Больцмана в поле сил тяжести

Распределение Больцмана в поле сил тяжести имеет можно записать в следующем виде:

где $U\left(x,y,z\right)=m_0gz$ — потенциальная энергия молекулы массы $m_0$ в поле тяжести Земли, $g$ — ускорение свободного падения, $z$ — высота. Или для плотности газа распределение (12) запишется как:

Выражение (13) называют барометрической формулой.

При выводе распределения Больцмана никаких ограничений для массы частицы не применялось. Следовательно, оно применимо и для тяжелых частиц. Если масса частицы велика, то показатель экспоненты быстро изменяется с высотой. Таким образом, сама экспонента быстро стремится к нулю. Для того, чтобы тяжелые частицы “не осели на дно”, необходимо, чтобы их потенциальная энергия была малой. Это достигается в том случае, если частицы помещают, например, в плотную жидкость. Потенциальная энергия частицы U(h) на высоте h взвешенная в жидкости:

\[U\left(h\right)=V_0\left(\rho –<\rho >_0\right)gh\ \left(14\right),\]

где $V_0$- объем частиц, $\rho $- плотность частиц, $<\rho >_0$ — плотность жидкости, h — расстояние (высота) от дна сосуда. Следовательно, распределение концентрации частиц взвешенных в жидкости:

Для того, чтобы эффект был заметен, частицы должны быть малы. Визуально этот эффект наблюдают с помощью микроскопа.

Лень читать?

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

spravochnick.ru

Средняя длина свободного пробега молекулы равна отношению пути, пройденного молекулой за 1 с, к числу происшедших за это время столкновений: = / =1/(42r 2 n0).

24.Внутренняя энергия идеального газа.

Внутренняя энергия – это сумма энергий молекулярных взаимодействий и энергии теплового движения молекул.

Внутренняя энергия системы зависит только от её состояния и является однозначной функцией состояния.

Внутренняя энергия идеального газа пропорциональна массе газа и его термодинамической температуре.

Работа газа при расширении.

Пусть в цилиндре под поршнем находится газ, занимающий объём V под давлением p. Площадь поршня S. Сила, с которой газ давит на поршень, F=pS. При расширении газа поршень понимается на высоту dh, при этом газ совершает работу A=Fdh=pSdh. Но Sdh=dV – увеличение объёма газа. Следовательно элементарная работа A=pdV. Полную работу A, совершаемую газом при изменении его объёма от V1 до V2 найдём интегрированием

Результат интегрирования зависит от процесса, протекающего в газах.

При изохорном процессе V=const, следовательно, dV=0 и A=0.

При изобарном процессе p=const, тогда

Работа при изобарном расширении газа равна произведению давления газа на увеличение объёма.

При изотермическом процессе T=const. p=(mRT)/(MV).

Количество теплоты.

Энергия, переданная газу путём теплообмена, называется количеством теплоты Q.

При сообщении системе бесконечно малого количества теплоты Q его температура изменится на dT.

26. Теплоёмкостью С системы называют величину, равную отношению сообщенного системе количества теплоты Q к изменению температуры dT системы: C=Q/dT.

Различают удельную теплоёмкость (теплоёмкость 1 кг вещества) c=Q/(mdT) и молярную теплоёмкость (теплоёмкость 1 моль вещества) c=Mc.

При различных процессах, протекающих в термодинамических системах, теплоёмкости будут различны.

studfiles.net

Популярное:

  • Узнать штрафы на фссп Как узнать о задолженности на сайте судебных приставов Во избежание возможных недоразумений и конфликтов между гражданами и государством существует сайт судебных приставов. Его основная задача – своевременное информирование населения о […]
  • Правило марковникова химия примеры Типы химических реакций в органической химии Реакции органических веществ можно формально разделить на четыре основных типа: замещения, присоединения, отщепления (элиминирования) и перегруппировки (изомеризации). Очевидно, что все […]
  • Как правильно оформить список литературы сайт Письмовник Техническое оформление текста Информация, размещенная на странице в Интернете, является электронным ресурсом удаленного доступа. Описание электронных ресурсов локального и удаленного доступа регулируется ГОСТ 7.82 — 2001 […]
  • Как оформить кредитную карту в уфе Рекомендуемые кредитные карты в Уфе Сэкономьте время и деньги на выборе кредитов! Здесь Вы найдете лучшие предложения банков в Уфе, где можно оформить кредитные карты онлайн. Некоторые из банков предлагают бесплатный выпуск, доставку или […]
  • Молитва перед от суда Православные иконы и молитвы Информационный сайт про иконы, молитвы, православные традиции. Молитва перед судом чтобы выиграть дело и благополучный исход «Спаси, Господи!». Спасибо, что посетили наш сайт, перед тем как начать изучать […]
  • Список документов развод суд Развод через суд. Какие нужны документы? Статья на тему: Развод Процедура развода через суд подразумевает инициирование процесса одним из супругов. Именно он заявляет о своем желании расторгнуть брак, подавая исковое заявление в суд по […]
  • Будет ли росгосстрах делать осаго Как купить полис ОСАГО онлайн Добрый день, уважаемый читатель. Начиная с 1 июля 2015 года в России введена возможность покупки страхового полиса ОСАГО водителем онлайн, т.е. через Интернет. В настоящее время несколько страховых компаний […]
  • Как отвечать на запросы адвокатов Ответ на запрос адвоката Вопрос-ответ по теме Руководителю организации пришел адвокатский запрос, о том что он должен в кратчайший срок предоставить ему: Трудовой договор на сотрудника, приказ, штатное расписание, дополнительное […]