Правила возведения отрицательного числа в степень

Что такое степень числа

Обращаем ваше внимание, что в данном разделе разбирается понятие степени только с натуральным показателем и нулём.

Понятие и свойства степеней с рациональными показателями (с отрицательным и дробным) будут рассмотрены в уроках для 8 класса.

Итак, разберёмся, что такое степень числа. Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое обозначение.

Вместо произведения шести одинаковых множителей 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 пишут 4 6 и произносят «четыре в шестой степени».

4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4 6

Выражение 4 6 называют степенью числа, где:

4 — основание степени;
6 — показатель степени.

В общем виде степень с основанием « a » и показателем « n » записывается с помощью выражения:

Степенью числа « a » с натуральным показателем « n », бóльшим 1 , называется произведение « n » одинаковых множителей, каждый из которых равен числу « a ».

Запись « a n » читается так: « а в степени n » или « n -ая степень числа a ».

Исключение составляют записи:

a 2 — её можно произносить как « а в квадрате»;
a 3 — её можно произносить как « а в кубе».

Конечно, выражения выше можно читать и по определению степени:

a 2 — « а во второй степени»;
a 3 — « а в третьей степени».

Особые случаи возникают, если показатель степени равен единице или нулю (n = 1; n = 0) .

Степенью числа « а » с показателем n = 1 является само это число:
a 1 = a

Любое число в нулевой степени равно единице.
a 0 = 1

Ноль в любой натуральной степени равен нулю.
0 n = 0

Единица в любой степени равна 1.
1 n = 1

Выражение 0 0 (ноль в нулевой степени) считают лишённым смыслом.

При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение числового или буквенного значения после его возведения в степень.

Пример. Возвести в степень.

5 3 = 5 · 5 · 5 = 125
2,5 2 = 2,5 · 2,5 = 6,25
(

Возведение в степень отрицательного числа

Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым числом — положительным, отрицательным или нулём.

При возведении в степень положительного числа получается положительное число.

При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.

При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или нечётным числом был показатель степени.

Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.

Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечётную степень, то получается отрицательное число. Так как произведение нечётного количество отрицательных сомножителей отрицательно.

Если же отрицательное число возводится в чётную степень, то получается положительное число. Так как произведение чётного количество отрицательных сомножителей положительно.

Отрицательное число, возведённое в чётную степень, есть число положительное .

Отрицательное число, возведённое в нечётную степень, — число отрицательное .

Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, то есть:

a 2 ≥ 0 при любом a .

2 · (−3) 2 = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
−5 · (−2) 3 = −5 · (−8) = 40

Обратите внимание!

При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи (−5) 4 и −5 4 это разные выражения. Результаты возведения в степень данных выражений будут разные.

Вычислить (−5) 4 означает найти значение четвёртой степени отрицательного числа.

В то время как найти « −5 4 » означает, что пример нужно решать в 2 действия:

Возвести в четвёртую степень положительное число 5 .
5 4 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
Поставить перед полученным результатом знак «минус» (то есть выполнить действие вычитание).
−5 4 = −625

Пример. Вычислить: −6 2 − (−1) 4

6 2 = 6 · 6 = 36
−6 2 = −36
(−1) 4 = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
−(−1) 4 = −1
−36 − 1 = −37

Порядок действий в примерах со степенями

Вычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.

В выражениях со степенями, не содержащими скобки, сначала выполняют вовзведение в степень, затем умножение и деление , а в конце сложение и вычитание .

Если в выражении есть скобки, то сначала в указанном выше порядке выполняют действия в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.

Для облегчения решения примеров полезно знать и пользоваться таблицей степеней, которую вы можете бесплатно скачать на нашем сайте.

Для проверки своих результатов вы можете воспользоваться на нашем сайте калькулятором «Возведение в степень онлайн».

math-prosto.ru

Возведение в степень, правила, примеры.

В продолжение разговора про степень числа логично разобраться с нахождением значения степени. Этот процесс получил название возведение в степень. В этой статье мы как раз изучим, как выполняется возведение в степень, при этом затронем все возможные показатели степени – натуральный, целый, рациональный и иррациональный. И по традиции подробно рассмотрим решения примеров возведения чисел в различные степени.

Навигация по странице.

Что значит «возведение в степень»?

Начать следует с объяснения, что называют возведением в степень. Вот соответствующее определение.

Возведение в степень – это нахождение значения степени числа.

Таким образом, нахождение значение степени числа a с показателем r и возведение числа a в степень r – это одно и то же. Например, если поставлена задача «вычислите значение степени (0,5) 5 », то ее можно переформулировать так: «Возведите число 0,5 в степень 5 ».

Теперь можно переходить непосредственно к правилам, по которым выполняется возведение в степень.

Возведение числа в натуральную степень

По определению степень числа a с натуральным показателем n равна произведению n множителей, каждый из которых равен a , то есть, . Таким образом, чтобы возвести число a в степень n нужно вычислить произведение вида .

Отсюда ясно, что возведение в натуральную степень базируется на умении выполнять умножение чисел, а этот материал охвачен в статье умножение действительных чисел. Рассмотрим решения нескольких примеров.

Выполните возведение числа −2 в четвертую степень.

По определению степени числа с натуральным показателем имеем (−2) 4 =(−2)·(−2)·(−2)·(−2) . Осталось лишь выполнить умножение целых чисел: (−2)·(−2)·(−2)·(−2)=16 .

Найдите значение степени .

Данная степень равна произведению вида . Вспомнив, как выполняется умножение смешанных чисел, заканчиваем возведение в степень: .

Что касается возведения в натуральную степень иррациональных чисел, то его проводят после предварительного округления основания степени до некоторого разряда, позволяющего получить значение с заданной степенью точности. Например, пусть нам требуется возвести число пи в квадрат. Если округлить число пи до сотых, то получим , а если взять , то возведение в степень даст .

Здесь стоит сказать, что во многих задачах нет необходимости возводить в степень иррациональные числа. Обычно ответ записывается либо в виде самой степени, например, , либо по возможности проводится преобразование выражения: .

В заключение этого пункта отдельно остановимся на возведении в первую степень. Здесь достаточно знать, что число a в первой степени – это есть само число a , то есть, . Это есть частный случай формулы при n=1 .

Например, (−9) 1 =−9 , а число в первой степени равно .

Возведение в целую степень

Возведение в целую степень удобно рассматривать для трех случаев: для целых положительных показателей, для нулевого показателя, и для целых отрицательных показателей степени.

Так как множество целых положительных чисел совпадает со множеством натуральных чисел, то возведение в целую положительную степень есть возведение в натуральную степень. А этот процесс мы рассмотрели в предыдущем пункте.

Переходим к возведению в нулевую степень. В статье степень с целым показателем мы выяснили, что нулевая степень числа a определяется для любого отличного от нуля действительного числа a , при этом a 0 =1 .

Таким образом, возведение любого отличного от нуля действительного числа в нулевую степень дает единицу. Например, 5 0 =1 , (−2,56) 0 =1 и , а 0 0 не определяется.

Чтобы закончить с возведением в целую степень, осталось разобраться со случаями целых отрицательных показателей. Мы знаем, что степень числа a с целым отрицательным показателем −z определяется как дробь вида . В знаменателе этой дроби находится степень с целым положительным показателем, значение которой мы умеем находить. Осталось лишь рассмотреть несколько примеров возведения в целую отрицательную степень.

Вычислите значение степени числа 3 с целым отрицательным показателем −2 .

По определению степени с целым отрицательным показателем имеем . Значение степени в знаменателе легко находится: 2 3 =2·2·2=8 . Таким образом, .

Найдите значение степени (1,43) −2 .

. Значение квадрата в знаменателе равно произведению 1,43·1,43 . Найдем его значение, выполнив умножение десятичных дробей столбиком:

Итак, . Запишем полученное число в виде обыкновенной дроби, умножив числитель и знаменатель полученной дроби на 10 000 (при необходимости смотрите преобразование дробей), имеем .

На этом возведение в степень завершено.

В заключение этого пункта стоит отдельно остановиться на возведении в степень −1 . Минус первая степень числа a равна числу, обратному числу a . Действительно, . Например, 3 −1 =1/3 , и .

Возведение числа в дробную степень

Возведение числа в дробную степень базируется на определении степени с дробным показателем. Известно, что , где a – любое положительное число, m – целое, а n – натуральное число. Так возведение числа a в дробную степень m/n заменяется двумя действиями: возведением в целую степень (о чем мы говорили в предыдущем пункте) и извлечением корня n-ой степени.

На практике равенство на основании свойств корней обычно применяется в виде . То есть, при возведении числа a в дробную степень m/n сначала извлекается корень n -ой степени из числа a , после чего полученный результат возводится в целую степень m .

Рассмотрим решения примеров возведения в дробную степень.

Вычислите значение степени .

Покажем два способа решения.

Первый способ. По определению степени с дробным показателем . Вычисляем значение степени под знаком корня, после чего извлекаем кубический корень: .

Второй способ. По определению степени с дробным показателем и на основании свойств корней справедливы равенства . Теперь извлекаем корень , наконец, возводим в целую степень .

Очевидно, что полученные результаты возведения в дробную степень совпадают.

Отметим, что дробный показатель степени может быть записан в виде десятичной дроби или смешанного числа, в этих случаях его следует заменить соответствующей обыкновенной дробью, после чего выполнять возведение в степень.

Вычислите (44,89) 2,5 .

Запишем показатель степени в виде обыкновенной дроби (при необходимости смотрите статью перевод десятичных дробей в обыкновенные): . Теперь выполняем возведение в дробную степень:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Следует также сказать, что возведение чисел в рациональные степени является достаточно трудоемким процессом (особенно когда в числителе и знаменателе дробного показателя степени находятся достаточно большие числа), который обычно проводится с использованием вычислительной техники.

В заключение этого пункта остановимся на возведении числа нуль в дробную степень. Дробной степени нуля вида мы придали следующий смысл: при имеем , а при нуль в степени m/n не определен. Итак, нуль в дробной положительной степени равен нулю, например, . А нуль в дробной отрицательной степени не имеет смысла, к примеру, не имеют смысла выражения и 0 -4,3 .

Возведение в иррациональную степень

Иногда возникает необходимость узнать значение степени числа с иррациональным показателем. При этом в практических целях обычно достаточно получить значение степени с точностью до некоторого знака. Сразу отметим, что это значение на практике вычисляется с помощью электронной вычислительной техники, так как возведение в иррациональную степень вручную требует большого количества громоздких вычислений. Но все же опишем в общих чертах суть действий.

Чтобы получить приближенное значение степени числа a с иррациональным показателем , берется некоторое десятичное приближение показателя степени , и вычисляется значение степени . Это значение и является приближенным значением степени числа a с иррациональным показателем . Чем более точное десятичное приближение числа будет взято изначально, тем более точное значение степени будет получено в итоге.

В качестве примера вычислим приближенное значение степени 2 1,174367. . Возьмем следующее десятичное приближение иррационального показателя: . Теперь возведем 2 в рациональную степень 1,17 (суть этого процесса мы описали в предыдущем пункте), получаем 2 1,17 ≈2,250116 . Таким образом, 2 1,174367. ≈2 1,17 ≈2,250116 . Если взять более точное десятичное приближение иррационального показателя степени, например, , то получим более точное значение исходной степени: 2 1,174367. ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

www.cleverstudents.ru

Правила возведения отрицательного числа в степень

СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ IV

§ 68. Степень с натуральным показателем.
Возведение в степень произведения и частного

Пусть а — произвольное действительное число, а n — натуральное число, большее или равное 2. Тогда п-я степень числа а (обозначается а n ) есть произведение п чисел, каждое из которых равно а:

Число а в выражении а n называется основанием, a n — показателем степени. Первой степенью действительного числа а называется само это число а. По аналогии с n-й степенью (n > 2) числа а первую степень этого числа следовало бы записывать как а 1 , но поскольку это выражение равно а, то единицу в записи а 1 обычно опускают и пишут просто а.

Степени с натуральными показателями обладают рядом важных свойств, которые мы рассмотрим ниже.

Теорема 1. Степень положительного числа с любым натуральным показателем положительна.
Степень отрицательного числа с четным показателем положительна, а с нечетным показателем отрицательна.

Действительно, если а > 0, то а n как произведение п положительных чисел положительно. Если а 2k как произведение четного числа отрицательных чисел положительно, а а 2k+1 как произведение нечетного числа отрицательных чисел отрицательно.

(—3) 4 = 81 (четное число отрицательных сомножителей);

(—2) 5 = —32 (нечетное число отрицательных сомножителей)

Теорема 2. Чтобы возвести в степень произведение, достаточно возвести в эту степень каждый сомножитель и результаты перемножить, то есть

Доказательство. По определению степени

Используя коммутативный и ассоциативный законы умножения, получаем:

что и требовалось доказать.

Мы получили правило возведения в степень для случая двух сомножителей. На самом же деле оно верно для любого числа сомножителей, например:

Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, достаточно перемножить основания этих степеней, а показатель оставить прежним.

Теорема 3. Чтобы возвести в степень дробь, достаточно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель и первый результат разделить на второй, то есть

Доказательство. По определению степени и правилу умножения дробей

515. (У с т н о.) Какие из данных чисел являются положительными и какие — отрицательными:

516. Упростить выражения:

517. Степени каких чисел не изменяются при произвольном изменении показателя?

oldskola1.narod.ru

Математика

Строка навигации

Возведение в степень чисел

Возьмем сначала какое-либо положительное число, напр., +3, и станем его возводить в разные степени:

(+3)² = (+3) ∙ (+3) = +9; (+3)³ = (+3) ∙ (+3) ∙ (+3) = +27; (+3) 4 = (+3) ∙ (+3) ∙ (+3) ∙ (+3) = +81 и т.д.

Из этих примеров уже становится совершенно ясным, что при возведении в любую степень положительного числа результат всегда получается положительным.

Возьмем затем отрицательное число, напр., –3, и станем его возводить в разные степени:

(–3)² = (–3) ∙ (–3) = +9; (–3)³ = (–3) ∙ (–3) ∙ (–3) = –27; (–3) 4 = (–3) ∙ (–3) ∙ (–3) ∙ (–3) = +81; (–3) 5 = (–3) ∙ (–3) ∙ (–3) ∙ (–3) ∙ (–3) = –243 и т. д.

Рассматривая эти примеры, придем к общему заключению, что при возведении отрицательного числа в четную степень (во 2-ую, в 4-ую, в 6-ую и т. д.) результат получается положительный, а при возведении его в нечетную степень (в 3-ю, в 5-ую, в 7-ую и т. д.) результат получается отрицательным.

Вот еще примеры:

Выполним два примера на вычисление, где помимо, возведения в степень, входят и другие действия.

Сначала надо выполнить действия внутри каждых скобок, причем внутри квадратных скобок пришлось бы сначала выполнить умножение , но второй множитель еще не вычислен – надо, поэтому, предварительно вычислить его. Итак,

Будем вычислять по множителям. Первый множитель есть a²b – ab². Здесь написана разность между произведением квадрата числа a на число b и произведением числа a на квадрат числа b. Согласно этому, и следует вести вычисления: сначала число a возвести в квадрат, полученный результат умножить на число b, – получим уменьшаемое; затем число b возвести в квадрат, умножить число a на полученный результат, – получим вычитаемое, после чего надо выполнить вычитание:

Действия, обратные возведению в степень, будут разучиваться в дальнейшем курсе.

maths-public.ru

Квадрат отрицательного числа

Как найти квадрат отрицательного числа? Что можно сказать о значении квадрата любого числа?

Чтобы найти квадрат числа, надо это число взять множителем два раза.

Соответственно, чтобы возвести в квадрат отрицательное число, надо найти произведение двух множителей, каждый из которых равен этому отрицательному числу.

При умножении отрицательных чисел получаем положительное число. Значит, знак «минус» при возведении в квадрат отрицательного числа уходит: