Правила возведения отрицательного числа в степень

Что такое степень числа

Обращаем ваше внимание, что в данном разделе разбирается понятие степени только с натуральным показателем и нулём.

Понятие и свойства степеней с рациональными показателями (с отрицательным и дробным) будут рассмотрены в уроках для 8 класса.

Итак, разберёмся, что такое степень числа. Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое обозначение.

Вместо произведения шести одинаковых множителей 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 пишут 4 6 и произносят «четыре в шестой степени».

4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4 6

Выражение 4 6 называют степенью числа, где:

  • 4 — основание степени;
  • 6 — показатель степени.
  • В общем виде степень с основанием « a » и показателем « n » записывается с помощью выражения:

    Степенью числа « a » с натуральным показателем « n », бóльшим 1 , называется произведение « n » одинаковых множителей, каждый из которых равен числу « a ».

    Запись « a n » читается так: « а в степени n » или « n -ая степень числа a ».

    Исключение составляют записи:

  • a 2 — её можно произносить как « а в квадрате»;
  • a 3 — её можно произносить как « а в кубе».
  • Конечно, выражения выше можно читать и по определению степени:

  • a 2 — « а во второй степени»;
  • a 3 — « а в третьей степени».
  • Особые случаи возникают, если показатель степени равен единице или нулю (n = 1; n = 0) .

    Степенью числа « а » с показателем n = 1 является само это число:
    a 1 = a

    Любое число в нулевой степени равно единице.
    a 0 = 1

    Ноль в любой натуральной степени равен нулю.
    0 n = 0

    Единица в любой степени равна 1.
    1 n = 1

    Выражение 0 0 (ноль в нулевой степени) считают лишённым смыслом.

    При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение числового или буквенного значения после его возведения в степень.

    Пример. Возвести в степень.

    • 5 3 = 5 · 5 · 5 = 125
    • 2,5 2 = 2,5 · 2,5 = 6,25
    • (

    Возведение в степень отрицательного числа

    Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым числом — положительным, отрицательным или нулём.

    При возведении в степень положительного числа получается положительное число.

    При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.

    При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или нечётным числом был показатель степени.

    Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.

    Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечётную степень, то получается отрицательное число. Так как произведение нечётного количество отрицательных сомножителей отрицательно.

    Если же отрицательное число возводится в чётную степень, то получается положительное число. Так как произведение чётного количество отрицательных сомножителей положительно.

    Отрицательное число, возведённое в чётную степень, есть число положительное .

    Отрицательное число, возведённое в нечётную степень, — число отрицательное .

    Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, то есть:

    a 2 ≥ 0 при любом a .

    • 2 · (−3) 2 = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
    • −5 · (−2) 3 = −5 · (−8) = 40

    Обратите внимание!

    При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи (−5) 4 и −5 4 это разные выражения. Результаты возведения в степень данных выражений будут разные.

    Вычислить (−5) 4 означает найти значение четвёртой степени отрицательного числа.

    В то время как найти « −5 4 » означает, что пример нужно решать в 2 действия:

    1. Возвести в четвёртую степень положительное число 5 .
      5 4 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
    2. Поставить перед полученным результатом знак «минус» (то есть выполнить действие вычитание).
      −5 4 = −625

    Пример. Вычислить: −6 2 − (−1) 4

  • 6 2 = 6 · 6 = 36
  • −6 2 = −36
  • (−1) 4 = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
  • −(−1) 4 = −1
  • −36 − 1 = −37
  • Порядок действий в примерах со степенями

    Вычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.

    В выражениях со степенями, не содержащими скобки, сначала выполняют вовзведение в степень, затем умножение и деление , а в конце сложение и вычитание .

    Если в выражении есть скобки, то сначала в указанном выше порядке выполняют действия в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.

    Для облегчения решения примеров полезно знать и пользоваться таблицей степеней, которую вы можете бесплатно скачать на нашем сайте.

    Для проверки своих результатов вы можете воспользоваться на нашем сайте калькулятором «Возведение в степень онлайн».

    math-prosto.ru

    Возведение в степень, правила, примеры.

    В продолжение разговора про степень числа логично разобраться с нахождением значения степени. Этот процесс получил название возведение в степень. В этой статье мы как раз изучим, как выполняется возведение в степень, при этом затронем все возможные показатели степени – натуральный, целый, рациональный и иррациональный. И по традиции подробно рассмотрим решения примеров возведения чисел в различные степени.

    Навигация по странице.

    Что значит «возведение в степень»?

    Начать следует с объяснения, что называют возведением в степень. Вот соответствующее определение.

    Возведение в степень – это нахождение значения степени числа.

    Таким образом, нахождение значение степени числа a с показателем r и возведение числа a в степень r – это одно и то же. Например, если поставлена задача «вычислите значение степени (0,5) 5 », то ее можно переформулировать так: «Возведите число 0,5 в степень 5 ».

    Теперь можно переходить непосредственно к правилам, по которым выполняется возведение в степень.

    Возведение числа в натуральную степень

    По определению степень числа a с натуральным показателем n равна произведению n множителей, каждый из которых равен a , то есть, . Таким образом, чтобы возвести число a в степень n нужно вычислить произведение вида .

    Отсюда ясно, что возведение в натуральную степень базируется на умении выполнять умножение чисел, а этот материал охвачен в статье умножение действительных чисел. Рассмотрим решения нескольких примеров.

    Выполните возведение числа −2 в четвертую степень.

    По определению степени числа с натуральным показателем имеем (−2) 4 =(−2)·(−2)·(−2)·(−2) . Осталось лишь выполнить умножение целых чисел: (−2)·(−2)·(−2)·(−2)=16 .

    Найдите значение степени .

    Данная степень равна произведению вида . Вспомнив, как выполняется умножение смешанных чисел, заканчиваем возведение в степень: .

    .

    Что касается возведения в натуральную степень иррациональных чисел, то его проводят после предварительного округления основания степени до некоторого разряда, позволяющего получить значение с заданной степенью точности. Например, пусть нам требуется возвести число пи в квадрат. Если округлить число пи до сотых, то получим , а если взять , то возведение в степень даст .

    Здесь стоит сказать, что во многих задачах нет необходимости возводить в степень иррациональные числа. Обычно ответ записывается либо в виде самой степени, например, , либо по возможности проводится преобразование выражения: .

    В заключение этого пункта отдельно остановимся на возведении в первую степень. Здесь достаточно знать, что число a в первой степени – это есть само число a , то есть, . Это есть частный случай формулы при n=1 .

    Например, (−9) 1 =−9 , а число в первой степени равно .

    Возведение в целую степень

    Возведение в целую степень удобно рассматривать для трех случаев: для целых положительных показателей, для нулевого показателя, и для целых отрицательных показателей степени.

    Так как множество целых положительных чисел совпадает со множеством натуральных чисел, то возведение в целую положительную степень есть возведение в натуральную степень. А этот процесс мы рассмотрели в предыдущем пункте.

    Переходим к возведению в нулевую степень. В статье степень с целым показателем мы выяснили, что нулевая степень числа a определяется для любого отличного от нуля действительного числа a , при этом a 0 =1 .

    Таким образом, возведение любого отличного от нуля действительного числа в нулевую степень дает единицу. Например, 5 0 =1 , (−2,56) 0 =1 и , а 0 0 не определяется.

    Чтобы закончить с возведением в целую степень, осталось разобраться со случаями целых отрицательных показателей. Мы знаем, что степень числа a с целым отрицательным показателем −z определяется как дробь вида . В знаменателе этой дроби находится степень с целым положительным показателем, значение которой мы умеем находить. Осталось лишь рассмотреть несколько примеров возведения в целую отрицательную степень.

    Вычислите значение степени числа 3 с целым отрицательным показателем −2 .

    По определению степени с целым отрицательным показателем имеем . Значение степени в знаменателе легко находится: 2 3 =2·2·2=8 . Таким образом, .

    .

    Найдите значение степени (1,43) −2 .

    . Значение квадрата в знаменателе равно произведению 1,43·1,43 . Найдем его значение, выполнив умножение десятичных дробей столбиком:

    Итак, . Запишем полученное число в виде обыкновенной дроби, умножив числитель и знаменатель полученной дроби на 10 000 (при необходимости смотрите преобразование дробей), имеем .

    На этом возведение в степень завершено.

    .

    В заключение этого пункта стоит отдельно остановиться на возведении в степень −1 . Минус первая степень числа a равна числу, обратному числу a . Действительно, . Например, 3 −1 =1/3 , и .

    Возведение числа в дробную степень

    Возведение числа в дробную степень базируется на определении степени с дробным показателем. Известно, что , где a – любое положительное число, m – целое, а n – натуральное число. Так возведение числа a в дробную степень m/n заменяется двумя действиями: возведением в целую степень (о чем мы говорили в предыдущем пункте) и извлечением корня n-ой степени.

    На практике равенство на основании свойств корней обычно применяется в виде . То есть, при возведении числа a в дробную степень m/n сначала извлекается корень n -ой степени из числа a , после чего полученный результат возводится в целую степень m .

    Рассмотрим решения примеров возведения в дробную степень.

    Вычислите значение степени .

    Покажем два способа решения.

    Первый способ. По определению степени с дробным показателем . Вычисляем значение степени под знаком корня, после чего извлекаем кубический корень: .

    Второй способ. По определению степени с дробным показателем и на основании свойств корней справедливы равенства . Теперь извлекаем корень , наконец, возводим в целую степень .

    Очевидно, что полученные результаты возведения в дробную степень совпадают.

    .

    Отметим, что дробный показатель степени может быть записан в виде десятичной дроби или смешанного числа, в этих случаях его следует заменить соответствующей обыкновенной дробью, после чего выполнять возведение в степень.

    Вычислите (44,89) 2,5 .

    Запишем показатель степени в виде обыкновенной дроби (при необходимости смотрите статью перевод десятичных дробей в обыкновенные): . Теперь выполняем возведение в дробную степень:

    (44,89) 2,5 =13 501,25107 .

    Следует также сказать, что возведение чисел в рациональные степени является достаточно трудоемким процессом (особенно когда в числителе и знаменателе дробного показателя степени находятся достаточно большие числа), который обычно проводится с использованием вычислительной техники.

    В заключение этого пункта остановимся на возведении числа нуль в дробную степень. Дробной степени нуля вида мы придали следующий смысл: при имеем , а при нуль в степени m/n не определен. Итак, нуль в дробной положительной степени равен нулю, например, . А нуль в дробной отрицательной степени не имеет смысла, к примеру, не имеют смысла выражения и 0 -4,3 .

    Возведение в иррациональную степень

    Иногда возникает необходимость узнать значение степени числа с иррациональным показателем. При этом в практических целях обычно достаточно получить значение степени с точностью до некоторого знака. Сразу отметим, что это значение на практике вычисляется с помощью электронной вычислительной техники, так как возведение в иррациональную степень вручную требует большого количества громоздких вычислений. Но все же опишем в общих чертах суть действий.

    Чтобы получить приближенное значение степени числа a с иррациональным показателем , берется некоторое десятичное приближение показателя степени , и вычисляется значение степени . Это значение и является приближенным значением степени числа a с иррациональным показателем . Чем более точное десятичное приближение числа будет взято изначально, тем более точное значение степени будет получено в итоге.

    В качестве примера вычислим приближенное значение степени 2 1,174367. . Возьмем следующее десятичное приближение иррационального показателя: . Теперь возведем 2 в рациональную степень 1,17 (суть этого процесса мы описали в предыдущем пункте), получаем 2 1,17 ≈2,250116 . Таким образом, 2 1,174367. ≈2 1,17 ≈2,250116 . Если взять более точное десятичное приближение иррационального показателя степени, например, , то получим более точное значение исходной степени: 2 1,174367. ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

    www.cleverstudents.ru

    Правила возведения отрицательного числа в степень

    СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,

    СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ IV

    § 68. Степень с натуральным показателем.
    Возведение в степень произведения и частного

    Пусть а — произвольное действительное число, а n — натуральное число, большее или равное 2. Тогда п-я степень числа а (обозначается а n ) есть произведение п чисел, каждое из которых равно а:

    Число а в выражении а n называется основанием, a n — показателем степени. Первой степенью действительного числа а называется само это число а. По аналогии с n-й степенью (n > 2) числа а первую степень этого числа следовало бы записывать как а 1 , но поскольку это выражение равно а, то единицу в записи а 1 обычно опускают и пишут просто а.

    Степени с натуральными показателями обладают рядом важных свойств, которые мы рассмотрим ниже.

    Теорема 1. Степень положительного числа с любым натуральным показателем положительна.
    Степень отрицательного числа с четным показателем положительна, а с нечетным показателем отрицательна.

    Действительно, если а > 0, то а n как произведение п положительных чисел положительно. Если а 2k как произведение четного числа отрицательных чисел положительно, а а 2k+1 как произведение нечетного числа отрицательных чисел отрицательно.

    (—3) 4 = 81 (четное число отрицательных сомножителей);

    (—2) 5 = —32 (нечетное число отрицательных сомножителей)

    Теорема 2. Чтобы возвести в степень произведение, достаточно возвести в эту степень каждый сомножитель и результаты перемножить, то есть

    Доказательство. По определению степени

    Используя коммутативный и ассоциативный законы умножения, получаем:

    что и требовалось доказать.

    Мы получили правило возведения в степень для случая двух сомножителей. На самом же деле оно верно для любого числа сомножителей, например:

    Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, достаточно перемножить основания этих степеней, а показатель оставить прежним.

    Теорема 3. Чтобы возвести в степень дробь, достаточно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель и первый результат разделить на второй, то есть

    Доказательство. По определению степени и правилу умножения дробей

    515. (У с т н о.) Какие из данных чисел являются положительными и какие — отрицательными:

    516. Упростить выражения:

    517. Степени каких чисел не изменяются при произвольном изменении показателя?

    oldskola1.narod.ru

    Математика

    Строка навигации

    Возведение в степень чисел

    Возьмем сначала какое-либо положительное число, напр., +3, и станем его возводить в разные степени:

    (+3)² = (+3) ∙ (+3) = +9; (+3)³ = (+3) ∙ (+3) ∙ (+3) = +27; (+3) 4 = (+3) ∙ (+3) ∙ (+3) ∙ (+3) = +81 и т.д.

    Из этих примеров уже становится совершенно ясным, что при возведении в любую степень положительного числа результат всегда получается положительным.

    Возьмем затем отрицательное число, напр., –3, и станем его возводить в разные степени:

    (–3)² = (–3) ∙ (–3) = +9; (–3)³ = (–3) ∙ (–3) ∙ (–3) = –27; (–3) 4 = (–3) ∙ (–3) ∙ (–3) ∙ (–3) = +81; (–3) 5 = (–3) ∙ (–3) ∙ (–3) ∙ (–3) ∙ (–3) = –243 и т. д.

    Рассматривая эти примеры, придем к общему заключению, что при возведении отрицательного числа в четную степень (во 2-ую, в 4-ую, в 6-ую и т. д.) результат получается положительный, а при возведении его в нечетную степень (в 3-ю, в 5-ую, в 7-ую и т. д.) результат получается отрицательным.

    Вот еще примеры:

    Выполним два примера на вычисление, где помимо, возведения в степень, входят и другие действия.

    Сначала надо выполнить действия внутри каждых скобок, причем внутри квадратных скобок пришлось бы сначала выполнить умножение , но второй множитель еще не вычислен – надо, поэтому, предварительно вычислить его. Итак,

    Будем вычислять по множителям. Первый множитель есть a²b – ab². Здесь написана разность между произведением квадрата числа a на число b и произведением числа a на квадрат числа b. Согласно этому, и следует вести вычисления: сначала число a возвести в квадрат, полученный результат умножить на число b, – получим уменьшаемое; затем число b возвести в квадрат, умножить число a на полученный результат, – получим вычитаемое, после чего надо выполнить вычитание:

    Действия, обратные возведению в степень, будут разучиваться в дальнейшем курсе.

    maths-public.ru

    Квадрат отрицательного числа

    Как найти квадрат отрицательного числа? Что можно сказать о значении квадрата любого числа?

    Чтобы найти квадрат числа, надо это число взять множителем два раза.

    Соответственно, чтобы возвести в квадрат отрицательное число, надо найти произведение двух множителей, каждый из которых равен этому отрицательному числу.

    При умножении отрицательных чисел получаем положительное число. Значит, знак «минус» при возведении в квадрат отрицательного числа уходит:

    Следовательно, квадрат отрицательного числа равен квадрату противоположному ему числа:

    Таким образом, значение квадрата любого отрицательного числа равно положительному числу.

    Квадрат положительного числа является числом положительным.

    Квадрат нуля равен нулю.

    Вывод: квадрат любого числа является неотрицательным числом:

    Чтобы возвести в квадрат отрицательное число, можно возвести в квадрат противоположное ему число (знак «-» не писать).

    Найти квадрат отрицательного числа:

    (При вычислении квадратов можно пользоваться готовыми значениями).

    (Найти квадрат дроби можно одним из двух способов).

    www.for6cl.uznateshe.ru

Популярное:

  • 32 Этические правила поведения адвоката при общении с коллегами §3. Этические правила поведения адвоката с коллегами, клиентом Высказывания замечательного адвоката Д.П. В виде правила эта этическая установка может быть сформулирована следующим образом: поведение адвоката по отношению к другим […]
  • Начислен налог по усн проводка Проводки по начислению налога УСН Предприятие, работающее по упрощенной системе налогообложения, для снижения уплачиваемого налога применяет специальный налоговый режим. Это позволяет упростить работу бухгалтера, облегчить ведение […]
  • Ул Самойловой суд Ул Самойловой суд Судебный участок N 181 Судебный участок N 182 Судебный участок N 183 Судебный участок N 184 Судебный участок N 185 Судебный участок N 186 Судебный участок N 187 192102 Санкт-Петербург, ул. Самойловой, д.12 Судебный […]
  • Если после развода негде жить Если после развода матери с ребенком негде жить, а у бывшего супруга имеется в собственности 1/4 доли квартиры, должен ли он обеспечить жильем ребенка и бывшую супругу? 2 ответa на вопрос от юристов 9111.ru нет, супругу он не должен […]
  • Работа юриста вологда вакансии Обязанности: изучение, составление договоров с поставщиками, подрядчиками и работниками, ведение реестров договоров сопровождение сделок по административно-хозяйственной… Полное описание Обязанности: подготовка исковых заявлений; ведение […]
  • Закон об образовании ст 75 1. Дополнительное образование детей и взрослых направлено на формирование и развитие творческих способностей детей и взрослых, удовлетворение их индивидуальных потребностей в интеллектуальном, нравственном и физическом совершенствовании, […]
  • Ставка налога усн липецкая область Липецкие власти намерены изменить упрощенную схему налогообложения для малого бизнеса Администрация Липецкой области предложила изменить систему налогообложения для предпринимателей малого бизнеса, которые работают по упрощенной системе […]
  • Оформить цветы в вазе Информация Человек, ежедневно испытывающий только 5 мин радости от цветущего гибискуса или от подвесной композиции, уже пережил примерно 60 ч в год приятных чувств. Чем больше частей квартиры гармонизировано и эстетически организовано, […]