Правила сложения и умножения степени

Математические формулы и таблицы

На данной странице Вы можете посмотреть или бесплатно скачать самые востребованные математические формулы, таблицы, а также справочные материалы по высшей математике. Все математические таблицы составлены лично мной и снабжены дополнительными комментариями. Сделано это в целях преодоления трудностей, с которыми часто сталкиваются студенты-заочники в ходе решения задач. Я не претендую на всеобъемлющую полноту материалов, но то, что ОЧЕНЬ ЧАСТО встречается, Вы найдете.

Рассмотрим, например, таблицу тригонометрических формул. Тригонометрических формул достаточно много, они давно известны, и нет никакого смысла переписывать справочники. А вот те формулы, которые очень часто используются для решения задач курса высшей математики, собраны воедино, и могут быть очень полезны при выполнении практических заданий. При этом в комментариях я указываю, в каком разделе высшей математики (пределы, производные, интегралы, и т.д.) практически всегда фигурирует та или иная формула.

Итак, прямо сейчас у Вас есть бесплатный доступ к ценным справочным материалам, возможен, как онлайн просмотр, так и скачивание. Удобнее всего сразу распечатать математические таблицы и справочные материалы, которые Вас заинтересуют. Как показывает практика, информация на экране монитора усваивается хуже, чем на бумаге, да и читать с монитора труднее.

Почти все файлы размещены прямо на сайте, а значит, могут быть получены в максимально короткий срок, ограниченный только скоростью Вашего Интернет-подключения.

! В случае некорректного отображения pdf используйте следующие рекомендации

Рекомендую просмотреть всем. Данные формулы встречаются в ходе решения задач по высшей математике буквально на каждом шагу. Без знания этих формул – никуда. С чего начать изучение высшей математики? С повторения этого. Независимо от уровня Вашей математической подготовки на данный момент, крайне желательно СРАЗУ ВИДЕТЬ возможность выполнения элементарных действий, применения простейших формул в ходе решения пределов, интегралов, дифференциальных уравнений и т.д.

В справочнике есть краткая информация о модуле, формулы сокращенного умножения, алгоритм решения квадратного уравнения, правила упрощения многоэтажных дробей, а также важнейшие свойства степеней и логарифмов.

Приведены самые «ходовые» тригонометрические формулы, которые применяются в ходе решения задач по высшей математике. На самом деле таких формул НЕМНОГО, и, собирать десятки других по различным математическим справочникам – пустая трата времени. Всё (или почти всё), что может потребоваться – здесь.

При выполнении заданий по математике нередко возникает необходимость заглянуть в тригонометрические таблицы. В данном справочном материале представлена таблица значений тригонометрических функций (синуса, косинуса, тангенса и котангенса) при значениях аргумента от нуля до 360 градусов. Держать в памяти данную информацию нет никакого смысла, но некоторые значения тригонометрических функций хорошо бы знать. Также представлены формулы приведения для вышеуказанных тригонометрических функций, иногда (чаще всего при решении пределов) требуются. По просьбам посетителей сайта в pdf-файл добавлена таблица значений обратных тригонометрических функций и две формулы: формула перевода градусов в радианы, формула перевода радианов в градусы.

Методический материал представляет собой обзор графиков основных элементарных функций и их свойств. Будет полезен при изучении практически всех разделов высшей математики, более того, справочное пособие поможет вам намного лучше и качественнее разобраться в некоторых темах. Также вы сможете узнать, какие значения функций следует знать наизусть, чтобы не получить «два автоматом» при ответе на простейший вопрос экзаменатора. Справка выполнена в форме веб страницы и содержит много графиков функций, которые также желательно помнить. По мере развития проекта методичка стала играть роль вводного урока по теме «Функции и графики».

На практике у студентов-заочников практически всегда возникает необходимость использовать первый и второй замечательные пределы, о которых и идет речь в данной справке. Также рассмотрены еще три замечательных предела, которые встречаются значительно реже. Все замечательные пределы снабжены дополнительными важными комментариями. Кроме того, файл дополнен информацией о замечательных эквивалентностях.

В справке приведены правила дифференцирования и таблица производных от основных элементарных функций. Таблица снабжена очень важными примечаниями.

Ваш гид по разделу «Функции и графики». В pdf-ке систематизирована и законспектирована информация об основных этапах исследования функции одной переменной. Руководство сопровождается ссылками, а значит, экономит массу времени. Мануал полезен как чайнику, так и подготовленному читателю.

В общем-то, почти то же самое, что в дифференциальном исчислении. Правила интегрирования и таблица интегралов с моими комментариями.

Справочный материал незаменим при изучении степенных рядов. В таблице представлены разложения в степенной ряд следующих функций: экспоненты, синуса, косинуса, логарифма, арктангенса и арксинуса. Также приведено биномиальное разложение и наиболее распространенные частные случаи биномиального разложения. Разложение функции в ряд является самостоятельным заданием, используется для приближенных вычислений, приближенных вычислений определенного интеграла и в некоторых других задачах.

Основной трудностью при решении неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами является правильный подбор частного решения по виду правой части. Данная методичка, относится, прежде всего, к уроку Как решить неоднородное уравнение второго порядка? и поможет вам легко разобраться в подборе частного решения. Справка не претендует на основательную научную полноту, она написана простым и понятным языком, однако в 99,99% случаев в ней найдется именно тот случай, который вы ищете.

Справка незаменима в ходе решения прикладных задач комплексного анализа – нахождения частного решения ДУ операционным методом и нахождения частного решения системы ДУ этим же способом. Таблица отличается от аналогов тем, что «заточена» именно под вышеуказанные задания, данная особенность позволяет легко освоить алгоритмы решения. Приведено как прямое, так и обратное преобразование Лапласа для наиболее распространенных функций. В случае если информации окажется недостаточно, рекомендую обратиться к солидному математическому справочнику – полная версия содержит более сотни пунктов.

В справочном материале приведены формулы факториала, количества перестановок, сочетаний, размещений (с повторениями и без повторений), а также содержательные комментарии к каждой формуле, позволяющие понять их суть. + Правила сложения и умножения комбинаций. Кроме того, в pdf-ке есть краткая информация о биноме Ньютона и треугольнике Паскаля с примерами их практического использования.

Основные формулы теории вероятностей

Справочный материал находится в разработке

Специальные расчётные программы:

В данном разделе вы можете найти вспомогательные программы для решения широких и узколокальных математических задач. Они помогут вам быстро выполнить расчёты и оформить решение.

Универсальный калькулятор реализован в рабочей книге MS Excel, которая содержит три листа. Программа может заменить обычный калькулятор с множеством функций. Любые степени, корни, логарифмы, тригонометрические функции, арки – без проблем! Кроме того, калькулятор в автоматическом режиме выполняет основные действия с матрицами, считает определители (до определителя 5 на 5 включительно), мгновенно находит миноры и алгебраические дополнения матриц. За считанные секунды можно решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы и по формулам Крамера, посмотреть основные этапы решения. Всё это очень удобно для самопроверки. Просто введите свои числа и получите готовый результат!

Калькулятор охватывает значительную часть курса по аналитической геометрии,
и позволит вам практически со 100%-ной вероятностью избежать вычислительных ошибок при действиях с векторами, нахождении расстояний и углов, расчёте параметров треугольной пирамиды. Программа снабжена тремя графопостроителями, позволяющими очень быстро получить качественные чертёжи линий 2-го порядка, чертёжи в полярных координатах, а также графики функций, заданных параметрически.

Прилагается обучающий видеоролик!

Данная полуавтоматическая программа относится к уроку Формула трапеций, формула Симпсона и помогает рассчитать приближенное значение определенного интеграла на 2, 4, 8, 10 и 20 отрезках разбиения. Прилагается видеоурок по работе с калькулятором. Вычислите ваш определенный интеграл в считанные минуты, и даже секунды!

На данный момент пока всё.

Раздел постепенно пополняется дополнительными материалами и полезными программами. Каждое справочное пособие неоднократно редактировалось и улучшалось, в том числе, с учетом ваших пожеланий и замечаний! Если Вы считаете, что упущено что-то важное, нашли какие-либо неточности, а может быть что-то разъяснено недостаточно понятно, обязательно пишите!

С уважением, Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Качественные работы без плагиата – Zaochnik.com

mathprofi.ru

Математика. 5 класс. Поурочные разработки. Бокарева С.А., Смирнова Т.В.

Пособие предназначено для учителей, ведущих преподавание по учебному комплекту «Математика, 5» под редакцией Г. В. Дорофеева и И. Ф. Шарыгина (М.: Просвещение), который включает учебник, дидактические материалы, рабочие тетради, контрольные работы для 5—6 классов и книгу для учителя. Пособие содержит методические разработки уроков математики в 5 классе.

Оглавление
Глава 1. Линии 10
Урок 1. Линии на плоскости 10
Урок 2. Прямая. Отрезок и луч 13
Урок 3. Ломаная 17
Урок 4. Сравнение отрезков. Длина отрезка. Единицы длины 20
Урок 5. Длина линии. Длина ломаной. Старинные единицы длины 22
Урок 6. Окружность. Круг 26
Урок 7. Окружность и круг 29
Глава 2. Натуральные числа 32
Урок 8. Сопоставление десятичной системы записи чисел и римской нумерации —
Урок 9. Десятичная система записи чисел 34
Урок 10. Натуральный ряд чисел и его свойства 36
Урок 11. Сравнение чисел. Двойное неравенство 38
Урок 12. Координатная прямая 39
Урок 13. Изображение натуральных чисел точками на координатной прямой 40
Урок 14. Округление натуральных чисел 41
Урок 15. Правило округления натуральных чисел . 43
Урок 16. Перебор возможных вариантов 44
Урок 17. Дерево возможных вариантов 47
Урок 18. Решение комбинаторных задач 49
Урок 19. Логика перебора при решении комбинаторных задач 53
Глава 3. Действия с натуральными числами . 56
Урок 20. Сложение натуральных чисел —
Урок 21. Взаимосвязь между сложением и вычитанием натуральных чисел 58
Урок 22. Нахождение неизвестных компонентов сложения и вычитания 60
Урок 23. Прикидка и оценка результатов вычислений 62
Урок 24. Решение текстовых задач 63
Урок 25. Умножение натуральных чисел 66
Урок 26. Умножение и деление натуральных чисел . 69
Урок 27. Нахождение неизвестных компонентов умножения и деления 71
Урок 28. Умножение натуральных чисел. Прикидка и оценка результатов вычислений 73
Урок 29. Деление натуральных чисел. Прикидка и оценка результатов вычислений 74
Урок 30. Простейшие задачи на движение 76
Урок 31. Решение задач на умножение и деление натуральных чисел 78
Урок 32. Зачет 1. «Натуральные числа» 80
Урок 33. Порядок действий в вычислениях 80
Урок 34. Порядок действий в выражениях, содержащих действия разных ступеней 82
Урок 35. Порядок действий. Вычисления по схеме . 83
Урок 36. Порядок действий в вычислениях. Решение текстовых задач 84
Урок 37. Степень числа 86
Урок 38. Квадрат и куб числа 87
Урок 39. Порядок действий при вычислении значений выражений, содержащих степени 88
Урок 40. Задачи на движение навстречу и в противоположных направлениях 89
Урок 41. Задачи на движение навстречу и в одном направлении 92
Урок 42. Задачи на движение по течению и против течения 94
Урок 43. Различные задачи на движение 95
Урок 44. Зачет 2. «Действия с натуральными числами» 97
Глава 4. Использование свойств действий при вычислениях 98
Урок 45. Переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения —
Урок 46. Преобразование выражений на основе свойств действий 99
Урок 47. Распределительное свойство 100
Урок 48. Вынесение общего множителя за скобки 101
Урок 49. Преобразование числовых выражений на основе распределительного закона 103
Урок 50. Задачи на части 104
Урок 51. Задачи на части, в условии которых дается масса всей смеси 107
Урок 52. Задачи на части, в которых части в явном виде не указаны 109
Урок 53. Разные задачи на части 111
Урок 54. Как решать задачи на уравнивание 112
Урок 55. Решение задач на уравнивание 114
Урок 56. Зачет 3. «Использование свойств действий при вычислениях» 116
Глава 5. Многоугольники 117
Урок 57. Угол. Обозначение углов. Сравнение углов . . 119
Урок 58. Виды углов. Биссектриса угла 119
Урок 59. Градус, транспортир, измерение углов 122
Урок 60. Построение углов заданной градусной меры с помощью транспортира 124
Урок 61. Построение углов 127
Урок 62. Ломаные и многоугольники. Периметр многоугольника 129
Урок 63. Многоугольники. Диагонали многоугольников 130
Глава 6. Делимость чисел 133
Урок 64. Делители числа. Наибольший общий делитель —
Урок 65. Делители и кратные числа. Наименьшее общее кратное 136
Урок 66. Делители и кратные 139
Урок 67. Простые и составные числа 142
Урок 68. Разложение составного числа на простые множители 145
Урок 69. Делимость суммы и произведения 147
Урок 70. Признаки делимости на 2, на 5, на 10 148
Урок 71. Признаки делимости на 9 и на 3 152
Урок 72. Признаки делимости чисел 154
Урок 73. Делимость натуральных чисел. Урок — игра «Математический перекресток» 156
Урок 74. Деление с остатком 159
Урок 75. Нахождение неизвестных компонентов при делении с остатком 161
Урок 76. Деление с остатком при решении задач . 162
Урок 77. Решение задач арифметическим способом . . 164
Урок 78. Зачет 4. «Делимость чисел» 166
Глава 7. Треугольники и четырехугольники . 167
Урок 79. Треугольники и их виды. Свойства равнобедренного треугольника —
Урок 80. Классификация треугольников по сторонам и углам 168
Урок 81. Прямоугольники 170
Урок 82. Прямоугольник. Свойства диагоналей прямоугольника 172
Урок 83. Равные фигуры 174
Урок 84. Равные фигуры 175
Урок 85. Площадь прямоугольника 177
Урок 86. Площадь фигур, составленных из прямоугольников 179
Урок 87. Единицы площади 180
Глава 8. Дроби 183
Урок 88. Как единица на доли делится —
Урок 89. Нахождение целого по его части 185
Урок 90. Как из долей получаются дроби. Правильные и неправильные дроби 186
Урок 91. Изображение дробей точками на координатной прямой 189
Урок 92. Решение задач на нахождение дроби от числа 191
Урок 93. Решение основных задач на дроби 193
Урок 94. Основное свойство дроби 196
Урок 95. Основное свойство дроби. Приведение дробей к новому знаменателю 198
Урок 96. Основное свойство дроби. Сокращение дробей 200
Урок 97. Преобразование дробей с помощью основного свойства 202
Урок 98. Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями 203
Урок 99. Приведение дробей к общему знаменателю . . 206
Урок 100. Приведение дробей к общему знаменателю и их сравнение 208
Урок 101. Сравнение дробей 209
Урок 102. Различные приемы сравнения дробей 212
Урок 103. Натуральные числа и дроби 214
Урок 104. Натуральные числа и дроби 216
Урок 105. Достоверные, невозможные и случайные события 219
Урок 106. Случайные события 221
Урок 107. Зачет 5. «Обыкновенные дроби» 223
Глава 9. Действия с дробями 224
Урок 108. Сложение обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями —
Урок 109. Сложение дробей с разными знаменателями 225
Урок 110. Сложение дробей. Прикидка и оценка результатов 227
Урок 111. Задачи на совместную работу 229
Урок 112. Смешанные дроби 232
Урок 113. Выделение целой части из неправильной дроби 233
Урок 114. Сложение смешанных дробей 235
Урок 115. Вычитание обыкновенных дробей 237
Урок 116. Вычитание дроби из целого числа 238
Урок 117. Вычитание чисел, одно из которых выражается смешанной дробью 240
Урок 118. Рациональные приемы вычислений 242
Урок 119. Вычитание смешанных дробей 243
Урок 120. Игра «Биржа знаний» 244
Урок 121. Зачет 6. «Сложение и вычитание дробей» . . 247
Урок 122. Умножение обыкновенных дробей —
Урок 123. Умножение дроби на натуральное число . . . 249
Урок 124. Умножение смешанных дробей 250
Урок 125. Решение задач, приводящих к умножению дробей 251
Урок 126. Возведение в степень обыкновенных дробей. Применение свойств умножения для упрощения вычислений 253
Урок 127. Деление обыкновенных дробей 255
Урок 128. Деление обыкновенной дроби на натуральное число и числа на дробь 257
Урок 129. Деление смешанных дробей 258
Урок 130. Все случаи деления обыкновенных дробей . . 259
Урок 131. Решение задач, приводящих к делению дробей 261
Урок 132. Действия с обыкновенными дробями 263
Урок 133. Нахождение дроби от числа и числа по его дроби 267
Урок 134. Нахождение части целого на основе формального правила 269
Урок 135. Нахождение целого по его части на основе формального правила 271
Урок 136. Решение задач на нахождение дроби от числа и числа по его дроби 273
Урок 137. Решение задач на нахождение дроби от числа и числа по его дроби 274
Урок 138. Задачи на совместную работу 275
Урок 139. Задачи на совместную работу 277
Урок 140. Задачи на совместную работу 279
Урок 141. Обыкновенные дроби 281
Урок 142. Зачет 7. «Умножение и деление дробей» . . . 284
Глава 10. Многогранники 285
Урок 143. Знакомство с геометрическими телами. Многогранники. Цилиндр. Конус. Шар —
Урок 144. Геометрические тела и их изображение . 289
Урок 145. Прямоугольный параллелепипед. Куб 291
Урок 146. Прямоугольный параллелепипед. Куб 292
Урок 147. Объем прямоугольного параллелепипеда. Единицы объема 293
Урок 148. Объем прямоугольного параллелепипеда . . . 296
Урок 149. Решение задач на вычисление объемов . 298
Урок 150. Пирамида и ее элементы 299
Урок 151. Развертки параллелепипеда и куба 300
Урок 152. Развертки поверхностей геометрических тел . . 303
Глава 11. Таблицы и диаграммы 308
Урок 153. Чтение таблиц —
Урок 154. Чтение и составление турнирных и частотных таблиц 309
Урок 155. Построение таблиц 311
Урок 156. Чтение и построение столбчатых диаграмм 314
Урок 157. Столбчатые и круговые диаграммы 315
Урок 158. Опрос общественного мнения 318
Уроки 159—160. Опрос общественного мнения 319

О том, как читать книги в форматах pdf , djvu — см. раздел » Программы; архиваторы; форматы pdf, djvu и др. «

www.alleng.ru

Сложение и вычитание многочленов

При сложении и вычитании многочленов важно уметь использовать правила раскрытия скобок.

Рассмотрим два случая раскрытия скобок:

  • когда перед скобками стоит знак «+»;
  • когда перед скобками стоит знак «−».
  • Правила раскрытия скобок

    Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак « + », нужно просто опустить скобки.

    Все знаки у одночленов внутри сохраняются .

    Рассмотрим пример. Раскрыть скобки:

    3x 2 − 5xy − 7x 2 y + (5xy − 3x 2 + 8x 2 y) = 3x 2 − 5xy − 7x 2 y + 5xy − 3x 2 + 8x 2 y

    Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак « − », нужно опустить скобки и заменить все знаки одночленов внутри скобок на противоположные .

    7t 3 − 4p − (2t − tn + t) = 7t 3 − 4p − 2t + tn − t

    Обратите внимание, так как в этом примере перед скобками стоит знак «−», при раскрытии скобок все одночлены поменяли знаки на противоположные.

    Как складывать и вычитать многочлены

    Чтобы сложить или вычесть многочлены нужно:

    1. раскрыть скобки по правилам раскрытия скобок;
    2. максимально привести подобные.

    Результат суммы и разности двух многочленов является многочленом.

    Рассмотрим пример. Найти разность многочленов.
    3a 2 + 8a − 4 и 3 + 8a − 5a 2

    Запишем пример. Не забудем заключить весь второй многочлен в скобки.

    3a 2 + 8 a − 4 − (3 + 8a − 5a 2 ) = 3a 2 + 8 a − 4 − 3 − 8 a + 5a 2
    Теперь подчеркнем и приведем подобные.

    3a 2 + 8a − 4 − 3− 8a + 5a 2 = 3a 2 + 5a 2 + 8a − 8a − 4 − 3 = 8a 2 − 7
    Запишем окончательное решение.

    3a 2 + 8 a − 4 − (3 + 8a − 5a 2 ) = 3a 2 + 8a − 4 − 3− 8a + 5a 2 = 3a 2 + 5a 2 + 8a − 8a − 4 − 3 = 8a 2 − 7

    Примеры сложения и вычитания многочленов

  • Найти сумму многочленов 4x − 1 и 5 − 3x
    4x − 1 + (5 − 3x) = 4x − 1 + 5 − 3x = 4x − 3x − 1 + 5 = x + 4

  • Найти разность многочленов 2с и −b + с
    2с − (−b + c) = 2c + b − с = 2с − с + b = с + b

  • Найти разность многочленов −x 2 и 4ax + x 2
    −x 2 − (4ax + x 2 ) = − x 2 − 4ax − x 2 = − x 2 − x 2 −4ax = −2x 2 − 4ax
  • math-prosto.ru

    Решение задач по математике онлайн

    Калькулятор онлайн.
    Калькулятор для решения комплексных чисел.
    Сумма, разность, произведение и частное комплексных чисел.
    Вычислить n-ую степень и корень n-ой степени.

    С помощью данного калькулятора вы можете сложить, вычесть, умножить, и разделить комплексные числа.
    Программа решения комплексных чисел не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс нахождения решения.

    Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

    Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

    Комплексное число состоит из двух частей — действительной и мнимой.
    Первое поле ввода — для действительной части, второе — для мнимой.
    Для правильного ввода комплексного числа нужно ввести как минимум одну часть — действительную или мнимую.

    Числа в действительную или мнимую части можно вводить целые или дробные.
    Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

    Правила ввода десятичных дробей.
    Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
    Например, можно вводить десятичные дроби так + i

    Правила ввода обыкновенных дробей.
    В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

    Знаменатель не может быть отрицательным.

    При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
    Ввод: + i
    Результат: \( -\frac<2> <3>— \frac<7> <5>\cdot i \)

    Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
    Ввод: + i
    Результат: \( -1\frac<2> <3>+ 5\frac<8> <3>\cdot i \)

    Введите действительную и мнимую части чисел \( z_1 \) и \( z_2 \).
    У каждого числа нужно ввести как минимум одну часть — действительную или мнимую.

    Вычислить сумму, разность, произведение и частное

    Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
    Через несколько секунд решение появится ниже.
    Пожалуйста подождите сек.

    Немного теории.

    Понятие комплексного числа

    Определение.
    Комплексными числами называют выражения вида а + bi где а и b — действительные числа, а i — некоторый символ, для которого по определению выполняется равенство i 2 = -1.

    Название «комплексные» происходит от слова «составные» — по виду выражения а + bi. Число а называется действительной частью комплексного числа а + bi, а число b — его мнимой частью. Число i называется мнимой единицей. Например, действительная часть комплексного числа 2-3i равна 2, мнимая часть равна -3. Запись комплексного числа в виде а + bi называют алгебраической формой комплексного числа.

    Равенство комплексных чисел

    Определение.
    Два комплексных числа а + bi и c + di называются равными тогда и только тогда, когда а = с и b = d, т. е. когда равны их действительные и мнимые части.

    Сложение и умножение комплексных чисел

    Операции сложения и умножения двух комплексных чисел определяются следующим образом.

    Определения.
    Суммой двух комплексных чисел а + bi и c + di называется комплексное число (a + c) + (b + d)i, т.е.
    (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
    Произведением двух комплексных чисел а + bi и c + di называется комплексное число (ac — bd) + (ad + bc)i, т. е.
    (а + bi)(с + di) = (ас-bd) + (ad + bc)i.

    Из двух предыдущих формул следует, что сложение и умножение комплексных чисел можно выполнять по правилам действий с многочленами. Поэтому нет необходимости запоминать эти формулы, их можно получить по обычным правилам алгебры, считая, что i 2 = -1.

    Основные свойства сложения и умножения комплексных чисел

    1. Переместительное свойство
    \( z_1 + z_2 = z_2 + z_1 , \qquad z_1z_2 = z_2z_1 \)

    2. Сочетательное свойство
    \( (z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3) , \qquad (z_1z_2)z_3 = z_1(z_2z_3) \)

    3. Распределительное свойство
    \( z_1(z_2 + z_3) = z_1z_2 + z_1z_3 \)

    Комплексно сопряженные числа

    Определение.
    Сопряженным с числом z = a + bi называется комплексное число а -bi, которое обозначается \( \overline \), т. е.
    \( \overline = \overline = a-bi \)

    Например, \( \overline <3 + 4i>= 3-4i, \qquad \overline <-2-5i>= -2+5i, \qquad \overline = -i \)

    Отметим, что \( \overline = a+bi \), поэтому для любого комплексного числа z имеет место равенство
    \( \overline<(\overline)> = z \)
    Равенство \( \overline = z \) справедливо тогда и только тогда, когда z — действительное число.

    Модуль комплексного числа

    Определение.
    Модулем комплексного числа z = а + bi называется число \( \sqrt \), т.е.
    \( |z|=|a+bi| = \sqrt \)

    Из данной формулы следует, что \( |z| \geq 0 \) для любого комплексного числа z, причем |z|=0 тогда и только тогда, когда z=0, т.е. когда a=0 и b=0.

    Вычитание комплексных чисел

    Определение.
    Комплексное число (–1)z называется противоположным комплексному числу z и обозначается –z.
    Если z = a+bi, то –z = –a–bi. Например, –(3–5i) = –3+5i. Для любого комплексного числа z выполняется равенство
    z+(–z) = 0.

    Вычитание комплексных чисел вводится как операция, обратная сложению: для любых комплексных чисел z1 и z2 существует, и притом только одно, число z, такое, что
    z + z2 = z1,
    т.е. это уравнение имеет только один корень.

    Деление комплексных чисел

    Деление комплексных чисел вводится как операция, обратная умножению: для любых комплексных чисел \( z_1 \) и \( z_2 \neq 0 \) существует, и притом только одно, число \( z \), такое, что \( zz_2=z_1 \) т.е. это уравнение относительно z имеет только один корень, который называется частным чисел \( z_1 \) и \( z_2 \) и обозначается \( z_1:z_2 \), или \( \frac \), т.е. \( z=z_1:z_2 = \frac \)

    Комплексное число нельзя делить на нуль.

    Частное комплексных чисел \( z_1 \) и \( z_2 \neq 0 \) можно найти по формуле
    \( \large \frac = \frac> <|z_2|^2>\)

    Каждое комплексное число z, не равное нулю, имеет обратное ему число w, такое, что z*w = 1, где
    \( \large w= \frac<1> = \frac-\fraci \)

    Геометрическая интерпретация комплексного числа. Комплексная плоскость

    Действительные числа геометрически изображаются точками числовой прямой. Комплексное число а + bi можно рассматривать как пару действительных чисел (а; b). Поэтому естественно комплексные числа изображать точками плоскости.

    Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Комплексное число z = a + bi изображается точкой плоскости с координатами (а; b), и эта точка обозначается той же буквой z.

    Такое соответствие между комплексными числами и точками плоскости взаимно однозначно: каждому комплексному числу а + bi соответствует одна точка плоскости с координатами (а; b) и, наоборот, каждой точке плоскости с координатами (а; b) соответствует одно комплексное число a + bi. Поэтому слова «комплексное число» и «точка плоскости» часто употребляются как синонимы. Так, вместо слов «точка, изображающая число 1 + i» говорят «точка 1 + i». Можно, например, сказать «треугольник с вершинами в точках i, 1+i, -i».

    При такой интерпретации действительные числа a, т.е. комплексные числа а+0i, изображаются точками с координатами (а; 0), т.е. точками оси абсцисс. Поэтому ось абсцисс называют действительной осью. Чисто мнимые числа bi = 0+bi изображаются точками с координатами (0; b), т.е. точками оси ординат, поэтому ось ординат называют мнимой осью. При этом точка с координатами (0; b) обозначается bi. Например, точка (0; 1) обозначается i, точка (0; -1) — это -i , точка (0; 2) — это точка 2i. Начало координат — это точка O. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называют комплексной плоскостью.

    Отметим, что точки z и -z симметричны относительно точки 0 (начала координат), а точки \( z \) и \( \overline \) симметричны относительно действительной оси.

    Комплексное число z = a+bi можно изображать вектором с началом в точке 0 и концом в точке z. Этот вектор будем обозначать той же буквой z, длина этого вектора равна |z|.

    Число z1 + z2 изображается вектором, построенным по правилу сложения векторов z1 и z2 а вектор z1-z2 можно построить как сумму векторов z1 и -z2.

    Геометрический смысл модуля комплексного числа

    Выясним геометрический смысл модуля комплексного числа |z|. Пусть z = а+bi. Тогда по определению модуля \( |z|= \sqrt \). Это означает, что |z| — расстояние от точки 0 до точки z.

    Например, равенство |z| = 4 означает, что расстояние от точки 0 до точки z равно 4. Поэтому множество всех точек z, удовлетворяющих равенству |z| = 4, является окружностью с центром в точке 0 радиуса 4. Уравнение |z| = R является уравнением окружности с центром в точке 0 радиуса R, где R — заданное положительное число.

    Геометрический смысл модуля разности комплексных чисел

    Выясним геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисел, т.е. |z1—z2|.
    Пусть z1 = a1+b1i, z2 = a2+b2i.
    Тогда \( |z_1-z_2| = |(a_1-a_2) + (b_2-b_2)i| = \sqrt <(a_1+a_2)^2 + (b_1+b_2)^2>\)

    Из курса геометрии известно, что это число равно расстоянию между точками с координатами (а1; b1) и (a2; b2).

    Тригонометрическая форма комплексного числа. Аргумент комплексного числа

    Определение
    Аргумент комплексного числа \( z \neq 0 \) — это угол \( \varphi \) между положительным направлением действительной оси и вектором Oz. Этот угол считается положительным, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательным при отсчете по часовой стрелке.

    Связь между действительной и мнимой частями комплексного числа z = а + bi, его модулем r=|z| и аргументом \( \varphi \) выражается следующими формулами:
    \( \begin \left\ < \begina=r \cos \varphi \\ b=r \sin \varphi \end \right. & \qquad\qquad (1) \end \)

    Аргумент комплексного числа z = a+bi ( \( z\neq 0 \) ) можно найти, решив систему (2). Эта система имеет бесконечно много решений вида \( \varphi =\varphi_0+2k\pi \), где \( k\in\mathbb , \;\; \varphi_0 \) — одно из решений системы (1), т.е. аргумент комплексного числа определяется неоднозначно.

    Для нахождения аргумента комплексного числа z = а+bi ( \( z\neq 0 \) ) можно воспользоваться формулой
    \( tg \varphi = \begin \large<\frac> & \qquad\qquad (3) \end \)

    При решении уравнения (3) нужно учитывать, в какой четверти находится точка z = а+bi.

    Запись комплексного числа в тригонометрической форме

    Из равенства (1) следует, что любое комплексное число z = a+bi, где \( z\neq 0 \), представляется в виде
    \( \begin z = r(\cos\varphi +i\sin\varphi ) & \qquad\qquad (4) \end \)
    где \( r=|z|=\sqrt \) — модуль комплексного числа z, \( \varphi \) — его аргумент. Запись комплексного числа в виде (4), где r>0, называют тригонометрической формой комплексного числа z.

    Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме

    С помощью тригонометрической формы записи комплексных чисел удобно находить произведение и частное комплексных чисел z1 и z2. Если два комплексных числа записаны в тригонометрической форме:
    \( z_1 = r_1(\cos\varphi_1 +i\sin\varphi_1), \quad z_2 = r_2(\cos\varphi_2 +i\sin\varphi_2) \) то произведение этих комплексных чисел можно найти по формуле:
    \( z_1z_2 = r_1r_2(\cos(\varphi_1+\varphi_2) +i\sin(\varphi_1+\varphi_2)) \)

    Из этой формулы следует, что при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

    Формула для нахождения частного комплексных чисел:
    \( \frac = \frac(\cos(\varphi_1-\varphi_2) +i\sin(\varphi_1-\varphi_2)) \)

    Из этой формулы следует, что модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя, а разность аргументов делимого и делителя является аргументом частного.

    Формула Муавра

    Для любого \( n \in \mathbb \) справедлива формула
    \( z^n = r^n(\cos \varphi + i \sin \varphi)^n = r^n(\cos (n\varphi) + i \sin (n\varphi) ) \) которую называют формулой Муавра.

    Книги (учебники) Рефераты ЕГЭ и ОГЭ тесты онлайн Игры, головоломки Построение графиков функций Орфографический словарь русского языка Словарь молодежного слэнга Каталог школ России Каталог ССУЗов России Каталог ВУЗов России Список задач Нахождение НОД и НОК Упрощение многочлена (умножение многочленов) Деление многочлена на многочлен столбиком Вычисление числовых дробей Решение задач на проценты Комплексные числа: сумма, разность, произведение и частное Системы 2-х линейных уравнений с двумя переменными Решение квадратного уравнения Выделение квадрата двучлена и разложение на множители квадратного трехчлена Решение неравенств Решение систем неравенств Построение графика квадратичной функции Построение графика дробно-линейной функции Решение арифметической и геометрической прогрессий Решение тригонометрических, показательных, логарифмических уравнений Вычисление пределов, производной, касательной Интеграл, первообразная Решение треугольников Вычисления действий с векторами Вычисления действий с прямыми и плоскостями Площадь геометрических фигур Периметр геометрических фигур Объем геометрических тел Площадь поверхности геометрических тел
    Конструктор дорожных ситуаций
    Погода — новости — гороскопы

    www.mathsolution.ru

    Популярное:

    • Полномочия и задачи фскн Проект закона о ФСКН России: подготовка к первому чтению Федеральная служба Российской Федерации по контролю за оборотом наркотиков была сформирована Указом Президента РФ 1 в 2003 году. Вот уже 10 лет ФСКН России остается единственным […]
    • Осаго п 161 Навязывание страхования жизни при покупке ОСАГО Добрый день, уважаемый читатель. В этой статье речь пойдет про навязывание страхования жизни при покупке страхового полиса ОСАГО. За последние несколько месяцев многие читатели сайта […]
    • Пенсия рабочим пенсионерам в 2018 году Льготы и привилегии матерей-одиночек в 2018 году Матери-одиночки в 2018 году, как и раньше, имеют права на оформление и получение льгот и привилегий, которые отсутствуют у родителей, воспитывающих детей в полных семьях. ФЗ №81 «О […]
    • Диагностика машины для страховки Диагностическая карта и ОСАГО Диагностическая карта автотранспортного средства выдается по итогам техосмотра и является официальным документом, который может использоваться вместо талона техосмотра. На сегодняшний день наличие диагностики […]
    • Адвокат резников краснодар «Народный инородный». Что погубило Олега Даля? 25 мая 1941 года родился любимый миллионами актёр Олег Даль. «Он поражал какой-то нездешностью. Таким нездешним и остался», — вспоминала о Дале его третья жена Лиза. Олег Даль ушёл в 39 лет. […]
    • Можно ли оформить доверенность на ипотеку Доверенность на продажу квартиры: виды и способы оформления Доверенность на продажу недвижимости представляет собой документ, в котором собственник (доверитель) передаёт свои полномочия на продажу недвижимости третьему (доверенному) […]
    • Не могу устроится на работу юристом Как стать нотариусом? Нотариус - это человек, который имеет право совершать определенные нотариальные действия. Стать нотариусом не просто, так как существуют определенные требования, которым обязан соответствовать претендент. Государство […]
    • Пенсии женщин будут меньше Расчет пенсии по старости: как рассчитать (формула, примеры)? Р асчет пенсии по старости — с 2015 года для него применяется новая формула. В этой статье мы расскажем, какие инструменты задействованы в определении суммы ежемесячных […]