Законы распределения случайных величин нормальный закон распределения

Основные законы распределения случайных величин

Нормальное распределение

Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами а и а, если ее плотность вероятности /(*) имеет вид

(2.20)

Кривая нормального распределения /(*) (нормальная кривая, или кривая Гаусса) приведена на рис. 2.1.

Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами а = 0 и а = 1 называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая – стандартной или нормированной.

Математическое ожидание случайной величины X, распределенной по нормальному закону, равно параметру а этого закона, а ее дисперсия – квадрату параметра σ, т. е.

Рис. 2.1. Кривая нормального распределения

Наиболее важные свойства случайной величины, распределенной

по нормальному закону:

1. Вероятность попадания случайной величины в интервал

(2.21)

где

2. Вероятность того, что отклонение случайной величины X, распределенной по нормальному закону, от математического ожидания а не превысит по абсолютной величине величину‘, равна:

(2.22)

где

3. «Правило трех сигм». Если случайная величина X распределена нормально (с параметрами а и ст), то практически достоверно, что абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения, т. е.

(2.23)

4. Если случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами а и, то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале

5. Коэффициент асимметрии и эксцесс нормально распределенной случайной величины равны нулю [18].

Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике. Главная особенность, выделяющая его среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы при весьма часто встречающихся типичных условиях.

studme.org

Функция НОРМРАСП

Возвращает нормальную функцию распределения для указанного среднего и стандартного отклонения. Эта функция очень широко применяется в статистике, в том числе при проверке гипотез.

x — значение, для которого строится распределение.

Среднее — среднее арифметическое распределения.

Интегральная — логическое значение, определяющее форму функции. Если аргумент «интегральная» имеет значение ИСТИНА, функция НОРМРАСП возвращает интегральную функцию распределения; если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ, возвращается функция плотности распределения.

· Если аргумент «среднее» или « стандартное_откл » не является числом, функция НОРМРАСП возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!.

· Если стандартное_откл ≤ 0, то функция НОРМРАСП возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.

· Если среднее = 0, стандартное_откл = 1 и интегральная = ИСТИНА, то функция НОРМРАСП возвращает стандартное нормальное распределение, т. е. НОРМСТРАСП.

· Уравнение для плотности нормального распределения (аргумент «интегральная» содержит значение ЛОЖЬ) имеет следующий вид:

· Если аргумент «интегральная» имеет значение ИСТИНА, формула описывает интеграл с пределами от минус бесконечности до x .

Функция НОРМСТРАСП

Возвращает стандартное нормальное интегральное распределение. Это распределение имеет среднее, равное нулю, и стандартное отклонение, равное единице. Данная функция используется вместо таблицы площадей стандартной нормальной кривой.

Z — значение, для которого строится распределение.

· Если z не является числом, функция НОРМСТРАСП возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!.

· Уравнение плотности стандартного нормального распределения имеет следующий вид:

Функция НОРМОБР

Возвращает обратное нормальное распределение для указанного среднего и стандартного отклонения.

Вероятность — вероятность, соответствующая нормальному распределению.

Стандартное_откл — стандартное отклонение распределения.

· Если какой-либо из аргументов не является числом, функция НОРМОБР возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!.

· Если вероятность 1, функция НОРМОБР возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.

· Если стандартное_откл ≤ 0, функция НОРМОБР возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.

· Если среднее = 0 и стандартное_откл = 1, функция НОРМОБР использует стандартное нормальное распределение (см. НОРМСТОБР).

Если задано значение вероятности, функция НОРМОБР ищет значение x , для которого функция НОРМРАСП( x , среднее, стандартное_откл , ИСТИНА) = вероятность. Однако точность функции НОРМОБР зависит от точности НОРМРАСП. В функции НОРМОБР для поиска применяется метод итераций. Если поиск не закончился после 100 итераций, функция возвращает значение ошибки #Н/Д.

yuschikev.narod.ru

Основные законы распределения

Репетитор: Васильев Алексей Александрович

Предметы: математика, физика, информатика, экономика.

Стоимость: 2000 руб / 90 мин.

Репетитор: Крюков Илья Хассанович

Предметы: математика, экономика, бухгалтерский учет.

Стоимость: 1600 руб / 60 мин.

Репетитор: Скрипаленко Михаил Михайлович

Предметы: математика (ЕГЭ), английский язык (GMAT, GRE (general), GRE subject test in maths, IELTS, TOEFL, BEC).

Репетитор: Матвеева Милада Андреевна

Предметы: русский язык, литература (ЕГЭ, ГИА).

Стоимость: 1200 руб / 60 мин.

Репетитор: Тверской Василий Борисович

Предметы: математика, физика.

Стоимость: 3500 руб / 90 мин.

Репетитор: Поздняков Андрей Александрович

Предметы: английский язык, (ЕГЭ). Подготовка к TOEFL и IELTS.

Стоимость: 2000 руб / 60 мин.

Репетитор: Ершикова Марина Львовна

Предметы: бухгалтерский учет (кроме банковского), налогообложение, аудит.

Стоимость: 1500 руб / 60 мин.

1.Биномиальный закон распределения.

Биномиальный закон распределения описывает вероятность наступления события А m раз в n независимых испытаниях, при условии, что вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна.

Например, отдел продаж магазина бытовой техники в среднем получает один заказ на покупку телевизоров из 10 звонков. Составить закон распределения вероятностей на покупку m телевизоров. Построить полигон распределения вероятностей.

В таблице m — число заказов, полученных компанией на покупку телевизора. Сn m — число сочетаний m телевизоров по n, p — вероятность наступления события А, т.е. заказа телевизора, q — вероятность не наступления события А, т.е. не заказа телевизора, P m,n — вероятность заказа m телевизоров из n. На рисунке 1 изображен полигон распределения вероятностей.

2.Геометрическое распределение.

Геометрическое распределение случайной величины имеет следующий вид:

P m — вероятность наступления события А в испытание под номером m.
р — вероятность наступления события А в одном испытании.
q = 1 — p

Пример. В компанию по ремонту бытовой техники поступила партия из 10 запасных блоков для стиральных машин. Бывают случаи, что в партии оказывается 1 блок бракованный. Проводится проверка до обнаружения бракованного блока. Необходимо составить закон распределения числа проверенных блоков. Вероятность того, что блок может оказаться бракованным равна 0,1. Построить полигон распределения вероятностей.

Из таблицы видно, что с увеличением числа m, вероятность того, что будет обнаружен бракованный блок, снижается. Последняя строчка (m=10) объединяет две вероятности: 1 — что десятый блок оказался неисправным — 0,038742049 , 2 — что все проверяемые блоки оказались исправными — 0,34867844. Так как вероятность того, что блок окажется неисправным относительно низкая (р=0,1), то вероятность последнего события P m (10 проверенных блоков) относительно высокая. Рис.2.

3.Гипергеометрическое распределение.

Гипергеометрическое распределение случайной величины имеет следующий вид:

Например, составить закон распределения 7-ми угаданных чисел из 49. В данном примере всего чисел N=49, изъяли n=7 чисел, M — всего чисел, которые обладают заданным свойством, т.е. правильно угаданных чисел, m — число правильно угаданных чисел среди изъятых.

Из таблицы видно, что вероятность угадывания одного числа m=1 выше, чем при m=0. Однако затем вероятность начинает быстро снижаться. Таким образом, вероятность угадывания 4-х чисел уже составляет менее 0,005, а 5-ти ничтожно мала.

4.Закон распределения Пуассона.

Случайная величина Х имеет распределение Пуассона, если закон ее распределения имеет вид:

λ = np = const
n — число испытаний, стремящиеся к бесконечности
p — вероятность наступления события, стремящаяся к нулю
m — число появлений события А

Например, в среднем за день в компанию по продаже телевизоров поступает около 100 звонков. Вероятность заказа телевизора марки А равна 0,08; B — 0,06 и C — 0,04. Составить закон распределения заказов на покупку телевизоров марок А,В и С. Построить полигон распределения вероятностей.

Из условия имеем: m=100, λ 1 =8, λ 2 =6, λ 3 =4 ( ≤10 )

(таблица дана не полностью)

Если n достаточно большое и стремится к бесконечности, а значение p стремится к нулю, так что произведение np стремится к постоянному числу, то данный закон является приближением к биномиальному закону распределения. Из графика видно, что чем больше вероятность р, тем ближе кривая расположена к оси m, т.е. более пологая. (Рис.4)

Необходимо отметить, что биномиальный, геометрический, гипергеометрический и закон распределения Пуассона выражают распределение вероятностей дискретной случайной величины.

5.Равномерный закон распределения.

Если плотность вероятности ϕ(х) есть величина постоянная на определенном промежутке [a,b], то закон распределения называется равномерным. На рис.5 изображены графики функции распределения вероятностей и плотность вероятности равномерного закона распределения.

6.Нормальный закон распределения (закон Гаусса).

Среди законов распределения непрерывных случайных величин наиболее распрастраненным является нормальный закон распределения. Случайная величина распределена по нормальному закону распределения, если ее плотность вероятности имеет вид:

где
а — математическое ожидание случайной величины
σ — среднее квадратическое отклонение

График плотности вероятности случайной величины, имеющей нормальный закон распределения, симметричен относительно прямой х=а, т.е х равному математическому ожиданию. Таким образом, если х=а, то кривая имеет максимум равный:

При изменении величины математического ожидания кривая будет смещаться вдоль оси Ох. На графике (Рис.6) видно, что при х=3 кривая имеет максимум, т.к. математическое ожидание равно 3. Если математическое ожидание примет другое значение, например а=6, то кривая будет иметь максимум при х=6. Говоря о среднем квадратическом отклонении, как можно увидеть из графика, чем больше среднее квадратическое отклонение, тем меньше максимальное значение плотности вероятности случайной величины.

Функция, которая выражает распределение случайной величины на интервале (-∞,х), и имеющая нормальный закон распределения, выражается через функцию Лапласа по следующей формуле:

Т.е. вероятность случайной величины Х состоит из двух частей: вероятности где x принимает значения от минус бесконечности до а, равная 0,5 и вторая часть — от а до х. (Рис.7)

www.mathtask.ru

Законы распределения случайных величин нормальный закон распределения

Рис. 1. Плотность вероятности стандартной нормальной случайной величины

Рис. 2. Функция распределения стандартной нормальной случайной величины

Дисперсия характеризует квадрат рассеивания случайной величины. Для того чтобы получить характеристику рассеивания, которая имеет такую же самую размерность что и случайная величина используют стандартное отклонение

Изменение математического ожидания не изменяет форму кривой, а лишь перемещает ее по оси Х. При изменении дисперсии форма кривой изменяется

Из рисунка видно, что чем большее значение дисперсии, т.е. чем большая степень рассеивания случайных величин, тем более пологой и растянутой становится кривая и наоборот.

Площадь под графиком функции плотности (рис. 4.) равняется 1 — это вероятность достоверного события.

Основное количество полученных результатов группируется вокруг наиболее вероятного значения. В практических применение важным есть правило “трех сигм”:

,

Т.е. вероятность того, что нормально распределенная случайная величина отличается от своего математического ожидания больше чем на три сигма приблизительно равняется 0,0027, такое событие есть практически невозможным.

studfiles.net

Нормальный закон распределения — введение

Приветствую дорогих читателей и подписчиков блога statanaliz.info. Продолжаем разговор о распределении данных. Как мы знаем, распределение может быть эмпирическим и теоретическим. Эмпирические данные всегда ограничены своей точностью и охватом возможных ситуаций. Поэтому для расчета интересующих вероятностей, пределов отклонений, размеров выборок и т.д. используют теоретические модели распределения случайной величины.

Самая известная статистическо-вероятностная модель – это закон нормального распределения. Нормальный закон, как и другие теоретические распределения, не является фиксированным уравнением зависимости одной переменной от другой. Фиксируется только характер этой зависимости. А вот конкретная форма распределения задается специальными параметрами в этом уравнении.

Например, всем понятно выражение типа у = аx + b – это уравнение прямой. Однако где конкретно она проходит и под каким наклоном, определяется параметрами а и b. Без заданных параметров невозможно четко представить эту линию. Также и с нормальным распределением. Ясно, что это функция, которая описывает тенденцию высокой концентрации значений около центра, но ее точная форма задается специальными параметрами, которые «подгоняют» модель под реальные данные.

Нормальный закон в теории статистики имеет фундаментальное значение. Он также лежит в основе ряда других распределений, поэтому ухватить самую суть желательно сразу. Вначале, возможно, будет слегка мутновато, но потом станет значительно легче, обещаю. Фактически после знакомства с нормальным распределением откроются новые горизонты использования статистических методов. Кстати, собственное логическое мышление под действием статистики также начинает деформироваться, в результате чего, общение с творческими личностями превращается в испытание. Ну да ладно.

Начнем с истории. Рассказываю, как сам слышал. Возможно, где-то перепутаю века, царей или континенты. В общем, я ни разу не историк.

Краткая история открытия нормального закона

История нормального закона насчитывает уже почти 300 лет. Говорят, первым причастным к открытию стал гражданин Абрахам де Муавр, который зафиксировал свои соображения по этому поводу в далеком 1733 году. Речь тогда шла о теоретическом приближении биномиального распределения при большом количестве наблюдений. Однако труды математика не были оценены по достоинству и Абрахама несправедливо забывают, когда речь идет об открытии нормального распределения. Широкое признание нормальный закон получил благодаря анализу выборочных данных.

Сейчас всем известно, что результаты выборочного исследования всегда ошибочны относительно истинного значения, которое исследователь и пытается оценить с помощью выборки. Если провести несколько измерений, то все они, скорее всего, будут отличаться друг от друга и, соответственно, от оцениваемого показателя по генеральной совокупности.

Статистика – наука исключительно практическая. Точность выводов здесь не пустой звук, а одна из насущных задач. В то же время вариация данных не способствует решению проблемы. Например, астрономы, проводя одни и те же наблюдения за небесными телами, все время получали различные результаты. Поначалу они считали, что всему виной их собственная небрежность и старались этот факт не сильно афишировать. Однако вопрос о постоянных отклонениях торчал занозой в ученом месте и не давал покоя пытливым умам тогдашних математиков. Как же быть с тем обстоятельством, что фактически нет возможности получить однозначный результат измерений? Что делать? Куда бежать? И какой из этого следует вывод? (последний вопрос от Ослика Иа).

И вот, эволюция мысли докатилась до того, что в светлую голову гражданина по имени Даниил Бернулли пришла замечательная мысль: разброс данных у самых различных явлений имеет что-то общее. Так, он сравнил разброс отклонений в астрономических наблюдениях с разбросом попаданий лучника в мишень и обнаружил, что и там и там максимальная концентрация результатов приходится на область относительно близкую к среднему значению, в то время как значительные отклонения происходят гораздо реже. Даниил подумал: а с чего бы это? И развивая успех, предложил соответствующий математический закон. Однако на этот раз ему не фартануло – закон оказался неверным. Кстати, этот Даниил был племянником другого Бернулли по имени Якоб. Того самого, который придумал закон больших чисел и процесс своего имени (когда в некотором эксперименте имеют место только два возможных исхода: благоприятный и неблагоприятный).

Тем не менее, идея об универсальном распределении ошибок измерений не осталась не замеченной, и немного позже другие ученые все-таки сформулировали правильный закон о случайных отклонениях. К открытию стали причастны Карл Фридрих Гаусс и Пьер-Симон Лаплас.

Гаусс вывел закон о распределении ошибок, чем и увековечил память о себе названием соответствующей функции (1809 г.). Чуть позже (в 1812 г.) П. Лаплас получил интеграл, который сегодня известен как функция нормального распределения.

Лаплас также обнаружил замечательную закономерность и сформулировал центральную предельную теорему (ЦПТ), согласно которой сумма большого количества малых и независимых величин имеет нормальное распределение. Центральная предельная теорема далее многократно уточнялась и видоизменялась, но суть ее осталась прежней. Таким образом, история открытия нормального закона насчитывает более 200 лет. Начиная от открытия Муавра, до окончательных формулировок ЦПТ в середине 20-го века. На сегодня мы имеем довольно развитый математический аппарат для анализа нормально распределенных данных.

На всякий случай еще раз отмечу, что приведенная выше история – это фривольный пересказ того, что я читал. Для серьезного изучения вопроса лучше обратиться к специализированной литературе.

Закон нормального распределения

Прежде чем погружаться в мир формул, крайне важно получить наглядное представление о предмете. Поэтому предлагаю начать с рисунка, с помощью которого далее будут изложены основные сведения о нормальном законе. Итак, функция плотности нормального распределения, она же функция Гаусса, имеет следующий вид.

Кривая Гаусса по форме несколько напоминает колокол, поэтому график нормального закона часто еще называют колоколообразной кривой. Если вдруг увидите термин «колоколообразная кривая», знайте, что речь идет о нормальном распределении.

Как видно, у графика имеется «горб» в середине и резкое снижение плотности по краям. В этом заключается суть нормального распределения. Другими словами, вероятность того, что случайная величина окажется около центра гораздо выше, чем то, что она сильно отклонится от середины. Смотрим на картинку.

На рисунке выше изображены два участка под кривой Гаусса: синий и зеленый. Основания, т.е. интервалы, у обоих участков равны. Но заметно отличаются высоты. Синий участок удален от центра, и имеет существенно меньшую высоту, чем зеленый, который находится в самом центре распределения. Следовательно, отличаются и площади, то бишь вероятности попадания в обозначенные интервалы.

Теперь посмотрим на формулу, по которой нарисована колоколообразная кривая, т.е. на функцию Гаусса.

Выглядит немного пугающе, но сейчас разберемся. В функции плотности нормального распределения присутствует: две математические константы

π – соотношение длины окружности и его диаметра, равно примерно 3,142;

е – основание натурального логарифма, равно примерно 2,718;

два параметра, которые задают форму конкретной кривой

m — математическое ожидание (в различных источниках могут использоваться другие обозначения, например, µ или a);

ну и сама переменная x, для которой высчитывается значение функции, т.е. плотность вероятности.

Константы, понятное дело, не меняются. Зато параметры — это то, что придает окончательный вид конкретному нормальному распределению. Отсюда и название: параметрическая функция или семейство параметрических функций. Напомню, есть и другие теоретические распределения, но мы сейчас говорим о нормальном.

Итак, конкретная форма нормального распределения зависит от 2-х параметров: математического ожидания (m) и дисперсии (σ 2 ). Кратко обозначается N(m, σ 2 ) или N(m, σ). Параметр m (матожидание) определяет центр распределения, которому соответствует максимальная высота графика. Дисперсия σ 2 характеризует размах вариации, то есть «размазанность» данных.

Параметр математического ожидания смещает центр распределения вправо или влево, не влияя на саму форму кривой плотности, что хорошо видно на самодвижущейся картинке.

А вот дисперсия определяет остроконечность кривой. Когда данные имеют малый разброс, то вся их масса сконцентрирована у центра. Если же у данных большой разброс, то они «размажутся» по широкому диапазону.

Плотность нормального распределения не имеет прямого практического применения (если не считать приближенных расчетов при использовании биномиального распределения). Вероятность того, что случайная величина окажется меньше некоторого значения x, определяется функцией нормального распределения:


Используя свойство непрерывного распределения, несложно рассчитать и любые другие вероятности, так как

statanaliz.info

Популярное:

  • Правила охраны зрения Правила охраны зрения МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ от 21 февраля 2001 года N 1 О классах охраны зрения в общеобразовательных и специальных (коррекционных) образовательных учреждениях Настоящее инструктивное письмо […]
  • Северо-западный центр экспертиз Организация ООО "Северо-Западный центр экспертизы" Состоит в реестре субъектов малого и среднего предпринимательства: с 01.08.2016 как микропредприятие Юридический адрес: 192288, г Санкт-Петербург, район Фрунзенский, муниципальный округ […]
  • Максимальное разрешение 2048 1536 Мониторы: 1680x1050, 1920*1080, 2048x1152 - какое разрешение «стандартнее»? И, посмотрев на разнообразие мониторов, задумался - какое же разрешение экрана нынче стандартное? P.S. Если взять монитор, например - 2048x1152 - потянет ли его […]
  • Союзная коллегия адвокатов Организация "Союзная коллегия адвокатов" Адрес: Г МОСКВА,УЛ БОЛЬШАЯ КОММУНИСТИЧЕСКАЯ, Д 33, СТР 2 Юридический адрес: 101000, МОСКВА Г, АЛЕКСАНДРА СОЛЖЕНИЦЫНА УЛ, 33, 1 ОКФС: 16 - Частная собственность ОКОГУ: 4210014 - Организации, […]
  • Независимая экспертиза сибирь Организация АНО "Независимая экспертиза Сибири" Юридический адрес: 625048, ТЮМЕНСКАЯ ОБЛ, ТЮМЕНЬ Г, ШИЛЛЕРА УЛ, ДОМ 46, КОРПУС 3. ОКФС: 16 - Частная собственность ОКОГУ: 4210014 - Организации, учрежденные юридическими лицами или […]
  • Официально-деловой приказ Официально-деловой приказ Приказ — правовой акт, издаваемый руководителем органа управ­ления для решения оперативных задач по деятельности предприятия и по личному составу. Приказы по личному составу могут не иметь констатирующей части. […]
  • Законы дюлонга Основные классы неорганических соединений, номенклатура. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ОБЩЕЙ ХИМИИ для студентов 1 курса факультета ТНВ НТУ «ХПИ» Лекция №1: Основные классы неорганических соединений, номенклатура. Основными классами неорганических […]
  • Стенограмма заседания конституционного суда Стенограмма заседания конституционного суда Мне тут попало в руки занимательное описание процесса заседания Конституционного Суда в Тридесятой Республике. Стенограмма заседания Конституционного Суда Тридесятой Республики — Итак, коллеги. […]