Правило крамера доказательство

Метод Крамера

Система линейных уравнений имеет вид:

Здесь аi j и bi (i = ; j = ) — заданные, а xj — неизвестные действительные числа.

Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы (5.3), т.е. определитель матрицы А

и n вспомогательных определителей D i (i=), которые получаются из определителя D заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Формулы Крамера имеют вид:

D × x i = D i ( i = ). (5.4)

Из (5.4) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы (5.3): если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

Если главный определитель системы D и все вспомогательные определители D i = 0 (i= ), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы D = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.

Пример 2.14 . Решить методом Крамера систему уравнений:

Решение. Главный определитель этой системы

значит, система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители D i ( i = ), получающиеся из определителя D путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при xi, столбцом из свободных членов:

Отсюда x1 = D 1/ D = 1, x2 = D 2/ D = 2, x3 = D 3/ D = 3, x4 = D 4/ D = -1, решение системы — вектор С=(1, 2, 3, -1) T .

www.mathelp.spb.ru

Правило крамера доказательство

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестных х1, х2,…х n В этой системе число уравнений равно числу неизвестных.

Матрица системы (1) имеет n строк и n столбцов т.е. является квадратной матрицей n -ого порядка. Определитель:

a 11 a 12 a 1 n

этой матрицы является определителем системы. j -ый столбец системы т.е. столбец из коэффициентов при неизвестных xj , обозначим Aj ;столбец, составленный из свободных коэффициентов системы через В. Тогда Dj ( B ) представляет собой определитель, полученный из определителя D заменой столбца Aj столбцом B .

a11a12…b1…a1n

Т.о. сформулируем теорему Крамера: Если главный определитель системы n линейных уравнений отличен от 0 , то система совместна и имеет единственное решение . Это решение даётся следующим образом, значениями неизвестных:

xj = Dj (В)/ D ( j =1,2,…, n ) (2)

Доказательство: Докажем сначала, что если D <>0 , то система (1) совместна и имеет единственное решение.

Для этого выпишем расширенную матрицу системы (1):

a11a12…a1n b1

Каждый из столбцов этой матрицы можно считать некоторым вектором n -мерного пространства. Введём для них обозначения :

a11 a11 a1n b1

Определитель D , составленный из коэффициентов векторов ( I 1 , I 2 ,… In ) по условию отличен от 0. Значит эти векторы образуют базис линейного пространства.

Если использовать векторное обозначение , то систему (1) можно записать:

Отсюда видно, что неизвестные x 1 , x 2 ,… xn — не что иное как координаты вектора b в базисе. Но ведь любой вектор можно, и при том единственным способом, разложить по любому заданному базису. Поэтому система (1) имеет единственное решение.

Докажем, что решение системы (1) находится по формулам (2) D <>0

Предположим, что Х 1 , Х2 , … ,Х n – решение системы (1) умножим j -ый столбец определителя D на Xj . Тогда и сам определитель D умножим на Xj . Получим новый определитель:

а11 а12 … х j а1 j … а1 n

Прибавим к j -му столбцу этого определителя линейную комбинацию его остальных столбцов, которую составляем по следующему правилу: первый столбец умножаем на х 1 , второй – на х2, и т. д., последний столбец – на х n .

В результате такого преобразования определитель не изменится, не изменятся и все его столбцы, кроме j – го , а в j –ом появятся новые элементы .

равная левой части 1 – ого уравнения (1). Но т.к. по предположению х 1 , х 2 , … , х n – решение системы (1), то эта система равна b 1 . Значит в 1 – ой строке j – го столбца, появится элемент b 1 , во второй – b 2 , в последней ( n – ой) – bn

Dxj примет вид определителя:

а11 а12 … b1 … a1n

a21 a22 … b2а 2n = Dj(b)

а n1 an2 … bn аnn

Это значит, что Dxj=Dj(b)

Отсюда находим, что Xj=D(b)/D

Величина xj может быть любой из величин х1 , х2 , хn . Следовательно решением системы (1) является формула (2).

Пример решения системы линейных уравнений методом Крамера :

х1 – х2 – 3х3 = 8

2х1 + х2 – х3 = — 1

Вычисляем главный определитель:

1 -1 3

D = 2 1 -1 = -2+6+6+1=11 <> 0

Т. к. D <> 0, данная система совместна и определена. Вычисляем:

8 -1 3

D1 = -1 1 -1 = -3-3+9+8=11

1 8 3

D2 = 2 -1 -1 = 16-18-6-3=-11

1 -1 8

D3 = 2 1 -1 = -3-2+16+16+1-6=22

X1 = D1/D= 1 ; X2 = D2/D = -1; X3 = D3/D =2

pedsovet.info

При решении систем линейных уравнений обсуждаются 3 вопроса: а) существует ли решение системы уравнений, б) сколько разных решений имеет система уравнений, в) алгоритм решения. Ниже излагаются основные результаты в этой области математики, позволяющие исчерпывающим образом ответить на эти вопросы.

Теорема Крамера

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений \[ a_<11>x_1+a_<12>x_2=b_1, \quad \quad(17) \] \[ a_<21>x_1+a_<22>x_2=b_2, \quad \quad(18) \]

числа \(a_, b_i\), \(i,k=1,2\) считаются заданными, требуется найти неизвестные \(x_1,x_2\) . Эту систему можно решить исключением неизвестных. Например, умножим первое уравнение на \(a_<22>\) и вычтем второе, умноженное на \(a_<12>\), получим:

Если второе уравнение умножить на \(a_<11>\) и вычесть из него первое уравнение, умноженное на \(a_<21>\), получим: \[ x_2=\fracb_2-a_<21>b_1>a_<22>-a_<21>a_<12>>. \quad \quad(20) \]

Введем следующие обозначения. Матрицей коэффициентов системы уравнений (17)-(18) назовем матрицу \[ A=\left( \begin a_ <11>& a_ <12>\\ a_ <21>& a_ <22>\end \right), \] столбец правых частей системы \[ B=\left (\begin b_1 \\b_2 \end \right). \]

Тогда формулы (19), (20) можно переписать следующим образом: \[ x_1=\frac, x_2=\frac, \quad \quad(21) \] где матрица \(C_k\), \(k=1,2\), получается из матрицы \(A\) заменой ее \(k\)-того столбца на столбец \(B\). Формулы (21) называются формулами Крамера для системы из 2 уравнений с двумя неизвестными. Они описывают единственное решение системы уравнений в данном случае.

Рассмотрим систему \(n\) линейных алгебраических уравнений с \(n\) неизвестными, \[ a_<11>x_1+a_<12>x_2+ . +a_<1n>x_n=b_1, \quad \quad(22) \] \[ a_<21>x_1+a_<22>x_2+. +a_<1n>x_n=b_2, \quad \quad(23) \] \[ . \] \[ a_x_1+a_x_2+. +a_x_n=b_n. \quad \quad(24) \]

Матрицей коэффициентов системы уравнений назовем матрицу \[ A=\left( \begin a_ <11>& a_ <12>& a_ <13>&\ldots & a_ <1n>\\ a_ <21>& a_ <22>& a_ <23>&\ldots & a_ <2n>\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_ &a_ & a_ & \ldots & a_ \end \right) , \] образуем столбец правых частей системы \[ B=\left (\begin b_1 & b_2 & \ldots &b_n \end \right)^T. \]

Cправедливо следующее утверждение.

Теорема Крамера. Пусть \(detA \neq 0\). Тогда система уравнений (22)-(24) имеет единственное решение, которое описывается формулами: \[ x_k=\frac, k=1,2. n, \quad \quad(25) \] где матрица \(C_k\) получается из матрицы \(A\) заменой ее \(k-\)го столбца столбцом \(B\).

Cоотношения (25) называются правилом Крамера.

В том случае, когда матрица коэффициентов системы уравнений невырождена, для построения решений системы можно использовать обратную матрицу.

Уравнения (22)-(24) можно записать в более экономичном виде \[ \sum _^na_x_m=b_k, k=1,2. n. \quad \quad(26) \]

Далее, введем столбец неизвестных \(X=(x_1,x_2. x_n)^T\), тогда в левой части соотношения (26) можно опознать матричное умножение, так что систему уравнений (26) можно записать в наших матричных терминах в виде матричного уравнения, \[ AX=B, \quad \quad(27) \] решение которого уже описано ранее в терминах обратной матрицы: \[ X=A^<-1>B. \]

В целом решение систем методом Крамера и методом обратной матрицы требует выполнения 2 условий: матрица коэффициентов системы должна быть квадратной ( т.е. число уравнений должно совпадать с числом неизвестных) и эта матрица должна быть невырожденной. К тому же практическая реализация этих методов связана с весьма громоздкими вычислениями, так что они имеют лишь теоретическое значение. На практике используют существенно более простой в реализации метод Гаусса, который к тому же позволяет решать и более общие системы уравнений. Этот метод описан ниже.

Решить системы методом Крамера и методом обратной матрицы.

а) \[ x_1+x_2+2x_3=-1, \] \[ 2x_1-x_2+2x_3=-4, \] \[ 4x_1+x_2+4x_3=-2. \]

б) \[ 3x_1+2x_2+x_3=5, \] \[ 2x_1+3x_2+x_3=1, \] \[ 2x_1+x_2+3x_3=11. \]

в) \[ 2x_1+x_2-x_3=2, \] \[ 3x_1+x_2-2x_3=3, \] \[ x_1+x_3=3. \]

publish.sutd.ru

Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию.

СИСТЕМА ОДНОРОДНЫХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Системой однородных линейных уравнений называется система вида

Ясно, что в этой случае , т.к. все элементы одного из столбцов в этих определителях равны нулю.

Так как неизвестные находятся по формулам , то в случае, когда Δ ≠ 0, система имеет единственное нулевое решение x = y = z = 0. Однако, во многих задачах интересен вопрос о том, имеет ли однородная система решения отличные от нулевого.

Теорема. Для того, чтобы система линейных однородных уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы Δ ≠ 0.

Итак, если определитель Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение. Если же Δ ≠ 0, то система линейных однородных уравнений имеет бесконечное множество решений.

, а значит x=y=z=0.

  • СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МАТРИЦЫ

    Пусть задана квадратная матрица , X – некоторая матрица–столбец, высота которой совпадает с порядком матрицы A. .

    Во многих задачах приходится рассматривать уравнение относительно X

    ,

    где λ – некоторое число. Понятно, что при любом λ это уравнение имеет нулевое решение .

    Число λ, при котором это уравнение имеет ненулевые решения, называется собственным значением матрицы A, а X при таком λ называется собственным вектором матрицы A.

    Найдём собственный вектор матрицы A. Поскольку EX = X, то матричное уравнение можно переписать в виде или . В развёрнутом виде это уравнение можно переписать в виде системы линейных уравнений. Действительно .

    И, следовательно,

    Итак, получили систему однородных линейных уравнений для определения координат x1, x2, x3 вектора X. Чтобы система имела ненулевые решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, т.е.

    Это уравнение 3-ей степени относительно λ. Оно называется характеристическим уравнением матрицы A и служит для определения собственных значений λ.

    Каждому собственному значению λ соответствует собственный вектор X, координаты которого определяются из системы при соответствующем значении λ.

    Найти собственные векторы и соответствующие им собственные значения матрицы .

    Составим характеристическое уравнение и найдём собственные значения

      При λ1 = –1 получаем систему уравнений

    Если x1 = t, то, где t Î R.
    Если λ2 = 5

    При изучении различных разделов физики встречаются величины, которые полностью определяются заданием их численных значений, например, длина, площадь, масса, температура и т.д. Такие величины называются скалярными. Однако, кроме них встречаются и величины, для определения которых, кроме численного значения, необходимо знать также их направление в пространстве, например, сила, действующая на тело, скорость и ускорение тела при его движении в пространстве, напряжённость магнитного поля в данной точке пространства и т.д. Такие величины называются векторными.

    Введём строгое определение.

    Направленным отрезком назовём отрезок, относительно концов которого известно, какой из них первый, а какой второй.

    Вектором называется направленный отрезок, имеющий определённую длину, т.е. это отрезок определённой длины, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая – за конец. Если A – начало вектора, B – его конец, то вектор обозначается символом, кроме того, вектор часто обозначается одной буквой . На рисунке вектор обозначается отрезком, а его направление стрелкой.

    Модулем или длиной вектора называют длину определяющего его направленного отрезка. Обозначается || или ||.

    К векторам будем относить и так называемый нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают. Он обозначается . Нулевой вектор не имеет определенного направления и модуль его равен нулю ||=0.

    Векторы и называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. При этом если векторы и одинаково направлены, будем писать , противоположно .

    Векторы, расположенные на прямых, параллельных одной и той же плоскости, называются компланарными.

    Два вектора и называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине. В этом случае пишут .

    Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку пространства.

  • Если дан вектор , то, выбрав любую точку , можем построить вектор , равный данному, и притом только один, или, как говорят, перенести вектор в точку .
  • Если рассмотреть квадрат ABCD, то на основанииопределения равенства векторов, мы можем написать и , но , , хотя все они имеют одинаковую длину.
  • ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ

    Умножение вектора на число.

    Произведением вектора на число λ называется новый вектор такой, что:

    1. ;
    2. вектор коллинеарен вектору ;
    3. векторы и направлены одинаково, если λ>0 и противоположно, если λ

    www.toehelp.ru

    Правила Крамера

    ПРАВИЛО КРАМЕРА Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

    Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

    называется определителем системы.

    Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

    Тогда можно доказать следующий результат.

    Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

    Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A11 элемента a11, 2-ое уравнение – на A21 и 3-е – на A31:

    Сложим эти уравнения:

    Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

    .

    Далее рассмотрим коэффициенты при x2:

    Аналогично можно показать, что и .

    Наконец несложно заметить, что

    Таким образом, получаем равенство: .

    Следовательно, .

    Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.

    Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

    works.doklad.ru

    Популярное:

    • Работа в москве с проживанием вахта повар Повар JCat сервис размещения объявлений • Москва Комплектовщик/ца на склад косметики (вахта) Повар на вахту 15 дней (проживание и питание) Мангазея Центр • Москва АМС ФУД • Москва Повар (вахта) Повар вахта Твой Дом • Москва Гросс/год: 56 […]
    • Момент рождения закон Момент рождения закон АРХИВ "Студенческий научный форум" Просмотров научной работы: 14495 Комментариев к научной работе: 1 Поделиться с друзьями: С 1 января текущего года вступили в силу основные положения Федерального закона от 21 […]
    • Ходатайство об истребовании доказательств по гражданскому делу образец Ходатайство об обеспечении доказательств Принять меры по сохранности доказательств до рассмотрения дела позволит ходатайство об обеспечении доказательств. Такой документ направляется в суд в случае, если имеются причины и основания […]
    • Нотариус метро волоколамская Мы - местные жители Павшинской поймы решили создать этот сайт для тех, кто задается вопросом «Стоит ли покупать квартиру в Павшинской пойме?». Мы отвечаем на наиболее важные и часто встречающиеся вопросы, описывая все плюсы и минусы […]
    • Закон 213-viii от 02032018 Закон 213-viii от 02032018 Верховна Рада України постановляє: I. Внести зміни до таких законодавчих актів України: 1. Частину п’ятнадцяту статті 50-1 Закону України "Про прокуратуру" (Відомості Верховної Ради України, 1991 р., № 53, ст. […]
    • Снятие с регистрационного учета бывшего мужа исковое заявление исковое заявление о снятии с регистрационного учета В Бутырский районный суд г. Москвы. Соистец: Грушевская Екатерина Андреевна. Соистец: Иванова Александра Петровна. Адрес: г. Москва, ул. Дубровская, д. 18, корпус 2, кв. 53. Телефон: 8 […]
    • Координата движущегося тела с течением времени меняется по закону x 1+3t-t Контрольная работа №1 по теме Кинематика материальной точки. 10 класс Контрольная работа №1 по теме «Кинематика материальной точки» 10 класс 1 Лыжник спускается с горы с начальной скоростью 6 м/с и ускорением 0,5 м/с 2 . Какова длина […]
    • Законы распределения случайных величин нормальный закон распределения Основные законы распределения случайных величин Нормальное распределение Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами а и а, если ее плотность вероятности /(*) имеет вид (2.20) Кривая нормального […]