Закон дистрибутивности логике

МИР ЛОГИКИ

Законы алгебры логики и правила преобразования логических выражений

Равносильные преобразования логических формул имеют то же назначение, что и преобразования формул в обычной алгебре. Они служат для упрощения формул или приведения их к определённому виду путем использования основных законов алгебры логики.

Под упрощением формулы, не содержащей операций импликации и эквиваленции, понимают равносильное преобразование, приводящее к формуле, которая либо содержит по сравнению с исходной меньшее число операций конъюнкции и дизъюнкции и не содержит отрицаний неэлементарных формул, либо содержит меньшее число вхождений переменных.

Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), тогда как другие преобразования основаны на свойствах, которыми не обладают операции обычной алгебры (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, де Моргана и др.).

Закон

Формулировка

1. Закон тождества

Всякое высказывание тождественно самому себе.

2. Закон исключенного третьего

Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Следовательно, результат логического сложения высказывания и его отрицания всегда принимает значение «истина».

3. Закон непротиворечия

Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Если высказывание Х истинно, то его отрицание НЕ Х должно быть ложным. Следовательно, логическое произведение высказывания и его отрицания должно быть ложно.

4. Закон двойного отрицания

Если дважды отрицать некоторое высказывание, то в результате получим исходное высказывание.

5. Переместительный (коммутативный) закон

Результат операции над высказываниями не зависит от того, в каком порядке берутся эти высказывания.

6. Сочетательный (ассоциативный) закон

5. Распределительный (дистрибутивный) закон

(X /\ Y) \/ Z= (X /\ Z) \/ (Y /\ Z)

(X /\ Y) \/ Z = (X \/ Z) /\ (Y \/ Z)

Определяет правило выноса общего высказывания за скобку.

7. Закон общей инверсии Закон де Моргана

Закон общей инверсии.

8. Закон равносильности (идемпотентности)

от латинских слов idem — тот же самый и potens —сильный

mir-logiki.ru

ДИСТРИБУТИВНОСТИ ЗАКОН

Философская Энциклопедия. В 5-х т. — М.: Советская энциклопедия . Под редакцией Ф. В. Константинова . 1960—1970 .

Смотреть что такое «ДИСТРИБУТИВНОСТИ ЗАКОН» в других словарях:

закон дистрибутивности — (от англ. distribution распределение, размещение) общее название группы логических законов сходной структуры. Эти законы позволяют распределить одну логическую связь относительно другой. Полный 3. д. конъюнкции относительно дизъюнкции с… … Словарь терминов логики

Разместительный закон — Дистрибутивность (от латинского distributivus «распределительный») свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве. Говорят, что две бинарные операции + и × удовлетворяют свойству дистрибутивности, если … Википедия

Распределительный закон — Дистрибутивность (от латинского distributivus «распределительный») свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве. Говорят, что две бинарные операции + и × удовлетворяют свойству дистрибутивности, если … Википедия

ДИСТРИБУТИВНОСТЬ — дистрибутивности закон, распределительность, некоторой операции относительно другой свойство пары бинарных алгебраических операций, выражающееся одним из тождеств: где , символы бинарных операций, а х, у, z предметные переменные. Если в множестве … Математическая энциклопедия

АЛГЕБРА ЛОГИКИ — раздел математической логики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логич. значений (истинности пли ложности), и логич. операций над ними. А. л. возникла в сер. 19 в. в трудах Дж. Буля (см. [1], [2]) и развилась затем в работах Ч … Математическая энциклопедия

АЛГЕБРА ЛОГИКИ — система алгебраич. методов решения логич. задач, а также совокупность задач, решаемых такими методами. А. л. в узком смысле слова алгебраич. (табличное, матричное) построение классич. логики высказываний, в котором рассматриваются… … Философская энциклопедия

АРИФМЕТИКА — искусство вычислений, производимых с положительными действительными числами. Краткая история арифметики. С глубокой древности работа с числами подразделялась на две различные области: одна касалась непосредственно свойств чисел, другая была… … Энциклопедия Кольера

Дизъюнктивная нормальная форма — (ДНФ) в булевой логике нормальная форма, в которой булева формула имеет вид дизъюнкции конъюнкций литералов. Любая булева формула может быть приведена к ДНФ.[1] Для этого можно использовать закон двойного отрицания, закон де Моргана, закон… … Википедия

ЛОГИКА КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ — логика, все законы к рой применимы в рассуждениях об объектах микромира и в частности об объектах, рассматриваемых в квантовой механике (отсюда и название этой логики). Обычная классич. логика не может служить логикой рассуждений о микрообъектах … Философская энциклопедия

Конъюнктивная нормальная форма — (КНФ) в булевой логике нормальная форма, в которой булева формула имеет вид конъюнкции дизъюнкций литералов. Конъюнктивная нормальная форма удобна для автоматического доказательства теорем. Любая булева формула может быть приведена к… … Википедия

dic.academic.ru

Тема 3. Основы математической логики 1. Логические выражения и логические операции.
2. Построение таблиц истинности и логических функций.
3. Законы логики и преобразование логических выражений.
Лабораторная работа № 3. Основы математической логики.

3. Законы логики и правила преобразования логических выражений

Закон двойного отрицания (двойное отрицание исключает отрицание):

А = .

Переместительный (коммутативный) закон:

    для логического сложения: А Ú B = B Ú A;

    Сочетательный (ассоциативный) закон:

      для логического сложения: (А Ú B) Ú C = A Ú (B Ú C);

      для логического умножения:(A & B) & C = A & (B & C).

      При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или вообще опускать.

      Распределительный (дистрибутивный) закон:

        для логического умножения:(A & B) Ú C = (A Ú C) & (B Ú C).

        Закон определяет правило выноса общего высказывания за скобку.

        Закон общей инверсии (законы де Моргана):

        для логического сложения: = & ;

        для логического умножения: = Ú
        Закон идемпотентности (от латинских слов idem — тот же самый и potens — сильный; дословно — равносильный):

          для логического сложения: А Ú A = A;

          для логического умножения:A & A = A.

          Закон означает отсутствие показателей степени.

          для логического умножения:A & 1 = A, A & 0 = 0.

          A & = 0.

        Невозможно, чтобы противоречащие высказывания были одновременно истинными.

        A Ú = 1.

        Из двух противоречащих высказываний об одном и том же предмете одно всегда истинно, а второе — ложно, третьего не дано.

        для логического умножения:A & (A Ú B) = A.

        Знание законов логики позволяет проверять правильность рассуждений и доказательств. Основываясь на законах, можно выполнять упрощение сложных логических выражений. Такой процесс замены сложной логической функции более простой, но равносильной ей, называется минимизацией функции.

        Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), другие — основаны на свойствах, которыми не обладают операции обычной алгебры (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, де Моргана и др.).

        Нарушения законов логики приводят к логическим ошибкам и вытекающим из них противоречиям.

        Пример 1. Упростить формулу (А Ú В) & (А Ú С).

      • Аналогично предыдущему пункту вынесем за скобки высказывание А.
        A Ú B & A Ú B & C = A & (1 Ú B) Ú B & C = A Ú B & C.
      • Таким образом, мы доказали закон дистрибутивности.

        Всякую формулу можно преобразовать так, что в ней не будет отрицаний сложных высказываний — все отрицания будут применяться только к простым высказываниям.

        Пример 2. Упростить выражения так, чтобы в полученных формулах не содержалось отрицания сложных высказываний.

        Решение:

        umk.portal.kemsu.ru

        Закон дистрибутивности логике

        Некоторые формулы и законы логики высказываний

        1. a & b == b & a — коммутативность конъюнкции
        2. a v b == b v a — коммутативность дизъюнкции
        3. a & (b & c) == (a & b) & c — ассоциативность конъюнкции
        4. a v (b v c) == (a v b) v c — ассоциативность дизъюнкции
        5. a & (b v c) == (a & b) v (a & c) — дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции
        6. a v (b & c) == (a v b) & (a v c) — дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции

        Все формулы, за исключением последней, при замене «&» на знак умножения и «v» на знак сложения превращаются в знакомые арифметические формулы перестановки, сочетания и распределения.

        А кроме того действует так называемый принцип двойственности (свойство симметрии): при замене всех «и» на «или«, всех «или» на «и» и всех «1» на «0«, а всех «0» на «1» формула останется верной.

        a == 0 — закон противоречия
        одно из двух: если одно истинно, то другое ложно.

        a v

        a == 1 — закон исключенного третьего
        а или не а, третьего не дано.

        b — закон Де Моргана

        b — закон Де Моргана
        a & b ==

        a v b ==

        b) — закон Де Моргана
        a =>b ==

        a v b — выражение импликации через отрицание и дизъюнкцию

      • ab == (a =>b) & (b =>a)
        10-15 легко проверить, построив таблицы истинности для левой части выражения и правой.
      • a & (b v a) == a — закон поглощения
        a(b + a) = ab + aa = ab + a = a(b + 1) = a 1 = a
      • a v (b & a) == a — закон поглощения
        a + ba = a (1 + b) = a
      • a & (

        a + ab = 0 + ab = ab

        a v (

        Здесь и далее для облегчения воспроизведения формул знак дизъюнкции «v» заменен на «+», а знак конъюнкции «&» опущен (запись «a b» следует понимать как «a и b»).

        И несколько примеров использования формул. Если вы внимательно их просмотрите, а еще лучше возьмете бумагу, ручку и прорешаете (заодно и проверите, не ошиблась ли я где-нибудь, выписывая все эти «крестики-нолики»), то многие формулы станут понятнее и ближе.

        ntl.narod.ru

        • § 3. Законы алгебры логики

          Итак, мы познакомились с понятием логического выражения и увидели, каким образом его строить по высказыванию на русском языке. Следующий шаг – изучение преобразований логических выражений.

          Логические выражения, зависящие от одних и тех же логических переменных, называются равносильными, если на любом наборе значений переменных они принимают одинаковое значение (`0` или `1`). В дальнейшем для обозначения равносильности логических выражений мы будем использовать знак равенства.

          это некоторые стандартные преобразования логических выражений, при которых сохраняется равносильность. Начнём с самых простых законов:

          1) Законы поглощения констант

          2) Законы поглощения переменных

          3) Законы идемпотентности

          4) Закон двойного отрицания

          5) Закон противоречия

          6) Закон исключённого третьего

          Приведённые законы ещё называют аксиомами алгебры логики. Истинность этих и всех последующих законов легко можно установить, построив таблицу истинности для левого и правого логического выражения.

          Переходим к группе законов, которые практически аналогичны законам алгебры чисел.

          7) Законы коммутативности

          Здесь стоит сделать замечание, что помимо конъюнкции и дизъюнкции свойством коммутативности также обладают эквивалентность и строгая дизъюнкция. Импликация – единственная из изучаемых операций, которая имеет два операнда и не обладает свойством коммутативности.

          8) Законы ассоциативности

          (x & y) & z = x & (y & z),

          (x`vv`y) `vv` z = x `vv` (y `vv` z);

          9) Законы дистрибутивности

          Первый из законов дистрибутивности аналогичен закону дистрибутивности в алгебре чисел, если конъюнкцию считать умножением, а дизъюнкцию – сложением. Второй же закон дистрибутивности отличается от алгебры чисел, поэтому рекомендуется обратить на него особое внимание и в дальнейшем использовать при решении задач на упрощение выражений.

          Кроме аксиом и алгебраических свойств операций ещё существуют особые законы алгебры логики.

          10) Законы де Моргана

          `bar(x & y)= barx vv bary` ,

          11) Загоны поглощения (не путать с аксиомами поглощения переменных нулём или единицей)

          Рассмотрим пример доказательства первого закона де Моргана при помощи построения таблицы истинности.

          Так как результирующие столбцы совпали, то выражения, стоящие в левой и правой частях закона, равносильны.

          В алгебре при решении задач на упрощение выражений большой популярностью пользовалась операция вынесения общего множителя за скобки. В алгебре логики эта операция также является легитимной, благодаря законам дистрибутивности и закону поглощения константы `1`. Продемонстрируем этот приём на простом примере: докажем первый закон поглощения, не используя таблицу истинности.

          Наше начальное выражение: x `vv` (x & y) . Выносим x за скобки и получаем следующее выражение:

          x &(1 `vv` y) . Используем закон поглощения переменной константой `1` и получаем следующее выражение: x & 1. И теперь используем закон поглощения константы и получаем просто x .

          В заключение, следует сказать несколько слов об операции импликации. Как уже отмечалось выше, импликация не обладает свойством коммутативности. Её операнды неравноправны, поэтому каждый из них имеет уникальное название. Левый операнд импликации называется посылкой, а правый – следствием. Из таблицы истинности импликации следует, что она истинна, когда истинно следствие, либо ложна посылка. Единственный случай, когда импликация ложна – это случай истинной посылки и ложного следствия. Таким образом, мы подошли к последнему закону алгебры логики, который бывает полезен при упрощении выражений.

          12) Закон преобразования импликации

          Необходимо ещё отметить, что в сложных логических выражениях у операций есть порядок приоритетов.

          3) Дизъюнкция, строгая дизъюнкция, эквивалентность

          zftsh.online

Популярное:

  • Полномочия и задачи фскн Проект закона о ФСКН России: подготовка к первому чтению Федеральная служба Российской Федерации по контролю за оборотом наркотиков была сформирована Указом Президента РФ 1 в 2003 году. Вот уже 10 лет ФСКН России остается единственным […]
  • Осаго п 161 Навязывание страхования жизни при покупке ОСАГО Добрый день, уважаемый читатель. В этой статье речь пойдет про навязывание страхования жизни при покупке страхового полиса ОСАГО. За последние несколько месяцев многие читатели сайта […]
  • Пенсия рабочим пенсионерам в 2018 году Льготы и привилегии матерей-одиночек в 2018 году Матери-одиночки в 2018 году, как и раньше, имеют права на оформление и получение льгот и привилегий, которые отсутствуют у родителей, воспитывающих детей в полных семьях. ФЗ №81 «О […]
  • Диагностика машины для страховки Диагностическая карта и ОСАГО Диагностическая карта автотранспортного средства выдается по итогам техосмотра и является официальным документом, который может использоваться вместо талона техосмотра. На сегодняшний день наличие диагностики […]
  • Адвокат резников краснодар «Народный инородный». Что погубило Олега Даля? 25 мая 1941 года родился любимый миллионами актёр Олег Даль. «Он поражал какой-то нездешностью. Таким нездешним и остался», — вспоминала о Дале его третья жена Лиза. Олег Даль ушёл в 39 лет. […]
  • Можно ли оформить доверенность на ипотеку Доверенность на продажу квартиры: виды и способы оформления Доверенность на продажу недвижимости представляет собой документ, в котором собственник (доверитель) передаёт свои полномочия на продажу недвижимости третьему (доверенному) […]
  • Не могу устроится на работу юристом Как стать нотариусом? Нотариус - это человек, который имеет право совершать определенные нотариальные действия. Стать нотариусом не просто, так как существуют определенные требования, которым обязан соответствовать претендент. Государство […]
  • Пенсии женщин будут меньше Расчет пенсии по старости: как рассчитать (формула, примеры)? Р асчет пенсии по старости — с 2015 года для него применяется новая формула. В этой статье мы расскажем, какие инструменты задействованы в определении суммы ежемесячных […]